Kurssin ensimmäisessä luvussa Etäisyys opittiin, miten itseisarvon avulla voidaan ilmaista etäisyyksiä lukusuoralla. Itseisarvoa tarvittiin myös, kun määritettiin tason pisteen etäisyys suorasta (teoreema 13). Kun määritettiin yhtälö ympyrän tangetille tai paraabelille, ratkaistiin yhtälö, jossa esiintyi itseisarvo. Tässä kappaleessa syvennytään tarkemmin itseisarvoyhtälöiden ratkaisemiseen.

Aloitetaan palauttamalla mieleen itseisarvon määritelmä:

Luvussa Etäisyys johdettiin seuraava teoreema, jonka mukaan erotuksen itseisarvo ilmaisee etäisyyden lukusuoralla:

Yksinkertaisimmat itseisarvoyhtälöt on mahdollista ratkaista tämän teoreeman avulla päättelemällä. Tätä harjoitellaan seuraavissa tehtävissä.

Useilla itseisarvoyhtälöillä on kaksi ratkaisua. Esimerkiksi yhtälön $\left|x - 7 \right| = 2$ toteuttavat ne luvut, joiden etäisyys luvusta $7$ on kaksi:

Yhtälöllä $\left|x - 7 \right| = 2$ on siis kaksi ratkaisua: $x_1 = 5$ ja $x_2 = 9$.

Joillakin itseisarvoyhtälöillä ei ole lainkaan ratkaisua. Esimerkiksi yhtälö $$\left|x - 10 \right| = -3$$ on aina epätosi, sillä sen oikea puoli on negatiivinen mutta vasen puoli on itseisarvon määritelmän perusteella aina suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Ennen itseisarvoyhtälön ratkaisemista kannattaakin ensin miettiä, voiko yhtälöllä ylipäätään olla ratkaisuja.

Monimutkaisemmat itseisarvoyhtälöt on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$\left|2x - 3 \right| = 4.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $2x + 3$ arvo on $4$ tai $-4$. Tutkitaan kumpikin vaihtoehto:

1. vaihtoehto (lausekkeen arvo on $4$): \begin{align*} 2x-3 &= 4 \\ 2x &= 7 \\ x &= \frac{7}{2} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$\left|2\cdot \frac{7}{2} - 3 \right| = \left|4 \right| =4.$$
2. vaihtoehto (lausekkeen arvo on $-4$): \begin{align*} 2x-3 &= -4 \\ 2x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{2} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$\left|2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - 3 \right| = \left|-4 \right| = 4.$$

Yhtälöllä $\left|2x - 3 \right| = 4$ on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = \frac{7}{2} \ \text{ ja } \ x_2 = -\frac{1}{2}.$$

Tarkastellaan seuraavaksi yhtälöitä, joissa esiintyy kaksi itseisarvoa. Niiden ratkaisemiseen voidaan käyttää samoja menetelmiä kuin edellä. Yksinkertaisimmat yhtälöt voidaan ratkaista päättelemällä, kun muistetaan, että erotuksen itseisarvo ilmaisee lukujen etäisyyden lukusuoralla.

Monimutkaisemmat tapaukset on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista yhtälöä. Menetelmä perustuu Etäisyys-luvussa perusteltuun teoreemaan 2. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$\left|2x - 3 \right| = \left|5x + 4 \right|.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos itseisarvojen sisällä olevat lausekkeet ovat samat tai toistensa vastalausekkeet. Tutkitaan kumpikin vaihtoehto:

1. vaihtoehto (lausekkeet ovat samat): \begin{align*} 2x-3 &= 5x + 4 \\ -3x &= 7 \\ x &= -\frac{7}{3} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön. Vasemmaksi puoleksi saadaan $$\left|2\cdot \left(-\frac{7}{3}\right) - 3 \right| = \left|-\frac{23}{3} \right| = \frac{23}{3}.$$ Oikeaksi puoleksi saadaan $$\left|5\cdot \left(-\frac{7}{3}\right) + 4 \right| = \left|-\frac{23}{3} \right| = \frac{23}{3}.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.
2. vaihtoehto (lausekkeet ovat toistensa vastalausekkeet): \begin{align*} 2x - 3 &= -(5x + 4) \\ 2x - 3 &= -5x - 4 \\ 7x &= -1 \\ x &= -\frac{1}{7} \end{align*} Ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön. Vasemmaksi puoleksi saadaan $$\left|2\cdot \left(-\frac{1}{7}\right) - 3 \right| = \left|-\frac{23}{7} \right| = \frac{23}{7}.$$ Oikeaksi puoleksi saadaan $$\left|5\cdot \left(-\frac{1}{7}\right) + 4 \right| = \left|\frac{23}{7} \right| = \frac{23}{7}.$$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten yhtälö toteutuu.

Yhtälöllä $\left|2x - 3 \right| = \left|5x + 4 \right|$ on siis kaksi ratkaisua: $$x_1 = -\frac{7}{3} \ \text{ ja } \ x_2 = -\frac{1}{7}.$$

Tässä kappaleessa harjoitellaan itseisarvoepäyhtälöiden ratkaisemista. Osa niistä voidaan ratkaista päättelemällä, kun muistetaan, että erotuksen itseisarvo ilmaisee etäisyyden lukusuoralla.

Edellisistä tehtävistä voi havaita, että itseisarvoepäyhtälön vastaus riippuu huomattavasti siitä, esiintyykö epäyhtälössä pienempi kuin -merkki vai suurempi kuin -merkki. Esimerkiksi epäyhtälön $$\left| x - 2 \right| < 6$$ ratkaisuja ovat kaikki luvut, joiden etäisyys luvusta $2$ on pienempi kuin $6$: Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$-4 < x \quad \textbf{ ja } \quad x < 8.$$ Tämä voidaan ilmaista myös kaksoisepäyhtälönä $-4 < x < 8$.

Epäyhtälön $$\left| x - 2 \right| > 4$$ ratkaisuja ovat kaikki luvut, joiden etäisyys luvusta $2$ on suurempi kuin $4$: Yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$x < -2 \quad \textbf{ tai } \quad x > 6.$$

Monimutkaisemmat itseisarvoepäyhtälöt on mahdollista ratkaista muodostamalla kaksi tavallista epäyhtälöä samalla periaatteella kuin edellä. Tarkastellaan esimerkiksi epäyhtälöä $$\left|2x - 3 \right| < 4.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $2x - 3$ arvo on lukujen $-4$ ja $4$ välissä eli $$-4 < 2x - 3 < 4.$$ Ratkaistaan kumpikin epäyhtälö:

1. epäyhtälö: \begin{align*} 2x-3 &> -4 \\ 2x &> -1 \\ x &> -\frac{1}{2} \end{align*}
2. epäyhtälö: \begin{align*} 2x-3 &< 4 \\ 2x &< 7 \\ x &< \frac{7}{2} \end{align*}

Epäyhtälö $\left|2x - 3 \right| < 4$ toteutuu, jos ja vain jos kumpikin näistä epäyhtälöistä toteutuu eli $$-\frac{1}{2} < x \quad \textbf{ ja } \quad x < \frac{7}{2}.$$ Epäyhtälön $\left|2x - 3 \right| < 4$ ratkaisujoukko on siis lukusuoran väli $$\left] -\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right[.$$ Hakasulkujen suunnasta näkyy, että välin päätepisteet eivät kuulu ratkaisujoukkoon.

Kun ratkaistaan itseisarvoepäyhtälöä, täytyy heti alussa ottaa huomioon, onko epäyhtälössä pienempi kuin -merkki vai suurempi kuin -merkki. Edellisessä esimerkissä ja tehtävässä tarkasteltiin itseisarvoepäyhtälöitä, joissa esiintyi pienempi kuin -merkki. Siirrytään nyt tutkimaan tapausta, jossa epäyhtälössä esiintyy suurempi kuin -merkki.

Tarkalleen ottaen seuraavassa epäyhtälössä esiintyy suurempi tai yhtä suuri kuin -merkki, mutta tämä ei haittaa, sillä päättelyaskeleet ovat samat riippumatta siitä, esiintyykö epäyhtälössä merkki $>$ vai merkki $\geq$.

Tarkastellaan epäyhtälöä $$\left|6x + 7 \right| \geq 5.$$ Se toteutuu, jos ja vain jos lausekkeen $6x + 7$ arvo on enintään $-5$ tai vähintään $5$: $$6x + 7 \leq -5 \quad \textbf{ tai } \quad 6x + 7 \geq 5.$$ Ratkaistaan kumpikin epäyhtälö:

1. epäyhtälö: \begin{align*} 6x + 7 &\leq -5 \\ 6x &\leq -12 \\ x &\leq -2 \end{align*}
2. epäyhtälö: \begin{align*} 6x + 7 &\geq 5 \\ 6x &\geq -2 \\ x &\geq -\frac{1}{3} \end{align*}

Epäyhtälö $\left|6x + 7 \right| \geq 5$ siis toteutuu, jos ja vain jos $$x \leq -2 \quad \textbf{ tai } \quad x \geq -\frac{1}{3}.$$ Kaksiosainen ratkaisujoukko voidaan merkitä yhdisteen merkin $\displaystyle \cup$ avulla seuraavasti: $$\left] -\infty, -2\right] \cup \left[-\frac{1}{3}, \infty\right[.$$ Hakasulkujen suunnasta näkyy, että päätepisteet $-2$ ja $-\frac{1}{3}$ kuuluvat ratkaisujoukkoon.

Tässä kappaleessa tutkitaan itseisarvon avulla määriteltyjä koordinaatiston pistejoukkoja ja opetellaan ratkaisemaan itseisarvoyhtälöitä ja -epäyhtälöitä graafisesti.

Aloitetaan tarkastelemalla yhtälöä $y = x$. Tämä yhtälö määrittelee pistejoukon, joka on origon kautta kulkeva suora:

Luvun itseisarvo on aina epänegatiivinen ja ilmaisee luvun etäisyyden nollasta. Tästä tiedosta voidaan päätellä, että yhtälö $y = \left|x\right|$ määrittelee koordinaatistossa seuraavan pistejoukon:

Yhtälön $y = \left|x\right|$ määrittelemä pistejoukko saadaan siis suorasta $y = x$ peilaamalla $x$-akselin alapuolelle jäävä osa $x$-akselin suhteen. Kuvasta näkyy myös havainnollisesti teoreeman 1 tulos: $$ \left|x\right| = \left\{\begin{aligned} &x, \quad \text{ jos $x \geq 0$} \\ -&x, \quad \text{ jos $x < 0$.} \end{aligned}\right. $$ Yhtälön $y = \left|x\right|$ määrittelemä pistejoukko saadaan siis suorista $y = x$ ja $y = -x$ jättämällä pois $x$-akselin alapuoliset osat.

Koordinaatistoa ja graafista esitystä voidaan käyttää apuna myös tilanteessa, jossa halutaan ilmaista itseisarvolauseke ilman itseisarvomerkkejä. Esimerkiksi alla on näkyvissä pistejoukko, jonka yhtälö on $y = \left|3-2x\right|$.

Kuvasta voidaan päätellä, että $$ \left|3-2x\right| = \left\{\begin{aligned} &\textcolor{blue}{3-2x}, \ \text{ jos $x \leq \tfrac{3}{2}$} \\ &\textcolor{red}{2x-3}, \ \text{ jos $x > \tfrac{3}{2}$.} \end{aligned}\right. $$

Itseisarvoyhtälöitä voidaan ratkaista graafisesti samaan tapaan kuin MAA2-kurssissa ratkaistiin ensimmäisen ja toisen asteen yhtälöitä. Esimerkiksi yhtälö $$\left|2x + 2\right| = 3$$ voidaan ratkaista piirtämällä koordinaatistoon pistejoukot $y = \left|2x + 2\right|$ ja $y = 3$:

Kuvasta havaitaan, että yhtälöllä $$\left|2x + 2\right| = 3$$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = -0{,}5$ ja $x_2 = 2{,}5$.

Monimutkaisempiakin itseisarvoyhtälöitä voidaan tutkia graafisesti. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $$\left|2x + 2\right| = \left|1-2x\right|$$ on tasan yksi ratkaisu:

Graafisesti voidaan tutkia sellaisiakin yhtälöitä, joissa tuntematon esiintyy sekä itseisarvomerkkien sisällä että ulkopuolella. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $$2x + 1 = \left|x\right|$$ on tasan yksi ratkaisu:

Ratkaisun tarkan arvon selvittämiseen on useita tapoja. Voidaan esimerkiksi korottaa yhtälön molemmat puolet toiseen potenssiin, jolloin saadaan yhtälö $$(2x + 1)^2 = \left|x\right|^2. \tag{1}$$ Tätä yhtälöä voidaan sieventää edelleen: \begin{align*} 4x^2 + 4x + 1 &= x^2 \\ 3x^2 + 4x + 1 &= 0 \end{align*} Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan \begin{align*} x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4\cdot 3 \cdot 1}}{2\cdot 3} \\ &= \frac{-4 \pm 2}{6} \\ &= \frac{-2 \pm 1}{3} \end{align*} Siis $x = -\frac{1}{3}$ tai $x = -1$. Kuvasta kuitenkin nähtiin jo aikaisemmin, että ratkaisuja on tasan yksi eikä kaksi. Mistä on kysymys?

Ilmiö johtuu toiseen potenssiin korotuksesta. Sen avulla saatu yhtälö (1) kyllä seuraa alkuperäisestä yhtälöstä, mutta yhtälöstä (1) ei päästä takaisin alkuperäiseen yhtälöön. Jos yritetään ottaa yhtälöstä (1) neliöjuuri, tuloksena on yhtälö \begin{align*} \sqrt{(2x + 1)^2} &= \sqrt{\left|x\right|^2}. \end{align*} Se sievenee vain muotoon $$ \left|2x + 1\right| = \left|x\right|. $$ Itseisarvoja ei voida poistaa vasemmalta, koska lauseke $2x+1$ saa myös negatiivisia arvoja, mutta neliöjuuren tulos on määritelmän mukaan aina epänegatiivinen.

Toiseen potenssiin korotusta voi tästä ilmiöstä huolimatta käyttää yhtälöiden ratkaisemisessa, kunhan muistaa lopuksi tarkistaa, ovatko kaikki löydetyt ratkaisuehdokkaat todella ratkaisuja.

Edellä löydettiin ratkaisuehdokkaat $x_1 = -\frac{1}{3}$ ja $x_2 = -1$. Tutkitaan, toteuttaako $x_1 = -\frac{1}{3}$ alkuperäisen yhtälön:

• Yhtälön vasen puoli: $2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = \frac{1}{3}$.
• Yhtälön oikea puoli: $\left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3}$.

Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat yhtä suuret, joten $x_1 = -\frac{1}{3}$ on yhtälön ratkaisu.

Tutkitaan vielä, toteuttaako $x_2 = -1$ alkuperäisen yhtälön:

• Yhtälön vasen puoli: $2\cdot \left(-1\right) + 1 = -1$.
• Yhtälön oikea puoli: $\left|-1\right| = 1$.

Yhtälön vasen ja oikea puoli eivät ole yhtä suuret, joten $x_2 = -1$ ei ole yhtälön ratkaisu.