Perustelu:

• Jos luku $a$ on positiivinen tai nolla, on sen etäisyys luvusta nolla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi luvun $5$ etäisyys luvusta nolla on $5$.
• Jos luku $a$ on negatiivinen, saadaan sen etäisyys luvusta nolla ilmaistua vastaluvun avulla. Esimerkiksi luvun $-9$ etäisyys luvusta nolla on $9 = -(-9)$.

Perustelu:

• Oletetaan, että $\left|a\right| = \left|b\right|$ eli lukujen $a$ ja $b$ itseisarvot ovat samat. Luvut $a$ ja $b$ ovat siten lukusuoralla yhtä kaukana luvusta nolla. Ne ovat siis samat tai toistensa vastaluvut. Toisin sanottuna $a = b$ tai $a = -b$.
• Oletetaan, että $a = b$ tai $a = -b$. Tutkitaan kumpikin tapaus:
  • Jos $a = b$ eli luvut ovat samat, myös niiden itseisarvot ovat samat eli $\left|a\right| = \left|b\right|$.
  • Jos $a = -b$ eli luvut ovat toistensa vastaluvut, ne ovat lukusuoralla kuitenkin yhtä kaukana luvusta nolla. Siten niillä on sama itseisarvo eli $\left|a\right| = \left|b\right|$.

Perustelu: Tutkitaan erikseen kolme mahdollista tapausta:

1. Oletetaan, että $a > b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $a-b$:
   Toisaalta erotus $a-b$ on positiivinen, joten $\left|a-b\right| = a-b$.
   
2. Oletetaan, että $a = b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $0$:
   Toisaalta erotus $a - b = 0$, joten $\left|a-b\right| = \left|0\right| = 0$.
   
3. Oletetaan, että $a < b$. Lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on $b-a$:
   Toisaalta erotus $a-b$ on negatiivinen, joten \begin{align*} \left|a-b\right| &= -(a-b) \\ &= -a+b \\ &= b-a. \end{align*}

Havaitaan, että kaikissa tapaukissa lukujen $a$ ja $b$ välinen etäisyys on yhtä suuri kuin erotuksen $a-b$ itseisarvo $\left|a-b\right|$.

Perustelu: Molemmat yhtälöt voidaan perustella teoreeman 1 avulla tutkimalla neljä mahdollista tapausta:

1. $a \geq 0$ ja $b \geq 0$
2. $a \geq 0$ ja $b < 0$
3. $a < 0$ ja $b \geq 0$
4. $a < 0$ ja $b < 0$.

Huomaa, että osamäärää koskevassa yhtälössä $b \neq 0$, sillä muuten osamäärä ei ole määritelty.

Tarkastellaan malliksi tulon itseisarvon tapaus 2:
Oletetaan, että $a \geq 0$ ja $b < 0$. Tällöin teoreeman 1 mukaan \begin{align*} \left|a\right| &= a \\ \left|b\right| &= -b, \end{align*} joten $$\left|a\right|\left|b\right| = a \cdot (-b) = \textcolor{red}{-ab}.$$ Toisaalta koska $a \geq 0$ ja $b < 0$, niin $ab \leq 0$ ja teoreeman 1 mukaan $$\left|ab\right| = \textcolor{red}{-ab}.$$ Siis tässä tapauksessa $$\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|.$$

Perustelu: Muodostetaan vektori pisteestä $P$ pisteeseen $Q$: $$ \pv{PQ} = (x_2-x_1)\vi + (y_2-y_1)\vj. $$ Tämän vektorin pituus on $$ \left|\pv{PQ}\right| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}. $$

Perustelu: Muodostetaan pisteen $C$ paikkavektori \begin{align*} \pv{OC} &= \pv{OP} + \frac{1}{2}\pv{PQ}. \end{align*} Kun siihen sijoitetaan \begin{align*} \pv{OP} &= x_1\vi + y_1\vj \\ \pv{PQ} &= (x_2-x_1)\vi + (y_2-y_1)\vj, \end{align*} paikkavektoriksi saadaan sievennyksen jälkeen \begin{align*} \pv{OC} &= \frac{1}{2}(x_1+x_2)\vi + \frac{1}{2}(y_1 + y_2)\vj. \end{align*} Paikkavektorista voidaan lukea pisteen $C$ koordinaatit. Siis $$ C = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right). $$