Kurssissa MAA4 opittiin muodostamaan suoralle niin sanottu vektorimuotoinen parametriesitys.

Esimerkiksi yllä näkyvän suoran yksi vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = \vi + 3\vj + t(\vi - 2\vj)$.

MAA4-kurssissa opittiin lisäksi, että jos $xy$-tason suoran jokin normaalivektori tunnetaan, voidaan suoralle muodostaa niin sanottu normaalimuotoinen yhtälö:

Vektoria sanotaan suoran normaalivektoriksi, jos se on suoraa vastaan kohtisuorassa. Esimerkiksi edellä tarkastellun suoran yksi normaalivektori on $\vn = 2\vi + \vj$:

Tämän suoran normaalimuotoiseksi yhtälöksi saadaan $$2x + y + c = 0,$$ missä vakion $c$ arvo määräytyy tiedosta, että suora kulkee pisteen $(1,3)$ kautta. Siten $$2\cdot 1 + 3 + c = 0$$ eli $c = -5$. Normaalimuotoisesta yhtälöstä $2x + y - 5 = 0$ voidaan ratkaista $y$: $$y = - 2x + 5.$$ Tällaista yhtälöä sanotaan suoran yhtälön ratkaistuksi muodoksi.

Jos $xy$-tason suora ei ole $y$-akselin suuntainen, sen yhtälö on aina mahdollista ilmaista ratkaistussa muodossa $y = kx + h$. Jos suora on $y$-akselin suuntainen, tämä ei onnistu. Tutkitaan seuraavaksi esimerkin avulla, miksi $y$-akselin suuntaisten suorien yhtälöitä ei voi esittää ratkaistussa muodossa.

Alla näkyvän $y$-akselin suuntaisen suoran yksi suuntavektori on $\vj$ ja yksi normaalivektori on $\vi$.

Suoran normaalimuotoinen yhtälö on siten muotoa $1\cdot x + 0\cdot y + c = 0$. Vakion $c$ arvo määräytyy esimerkiksi tiedosta, että suora kulkee pisteen $(4,1)$ kautta. Siten $$4 + c = 0$$ eli $c = -4$. Normaalimuotoinen yhtälö on siis $$x - 4 = 0.$$ Havaitaan, että tätä yhtälöä ei voi muuttaa määritelmän mukaiseen ratkaistuun muotoon $y = kx + h$, sillä muuttuja $y$ ei esiinny yhtälössä lainkaan. Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että muuttujan $y$ kerroin on nolla.

Koska $y$-akselin suuntaisen suoran $x - 4 = 0$ yhtälöä ei voida muuttaa määritelmän mukaiseen ratkaistuun muotoon $y = kx + h$, ei suoralla ole kulmakerrointa.

Tutkitaan seuraavaksi suoraa $L$, jonka yhtälön ratkaistu muoto on $y = -x + 3$. Tämä yhtälö kertoo, miten suoran pisteiden $y$-koordinaatit riippuvat $x$-koordinaateista, ja sen avulla voidaan selvittää suoran pisteitä.

Esimerkiksi jos suoran $L$ pisteen $x$-koordinaatti on $x = 1$, niin sen $y$-koordinaatti on $$y = -x+3 = -1 + 3 = 2.$$ Näin saadaan tieto, että suora $L$ kulkee pisteen $(1,2)$ kautta. Toinen piste löydetään, kun $x$-koordinaatiksi valitaan jokin muu luku: esimerkiksi jos $x = 4$, niin $$y = -x+3 = -4 + 3 = -1.$$ Suora $L$ kulkee siis myös pisteen $(4,-1)$ kautta. Nyt suorasta $L$ voidaan piirtää kuva:

Suoran $L$ yhtälöstä voidaan päätellä yleisemmin, että jos suoran pisteen $x$-koordinaatti on $x = t$, niin $y$-koordinaatti on $y = -t+3$. Näin saadaan MAA4-kurssista tuttu suoran $L$ koordinaattimuotoinen parametriesitys $$ \left\{\begin{aligned} x &= t \\ y &= -t+3 \end{aligned}\right. $$ Suoran $L$ pisteet ovat siis muotoa $(t, -t+3)$.

Tutkitaan seuraavaksi, miten suoran yhtälössä $y = kx + h$ esiintyvät kulmakerroin $k$ ja vakio $h$ vaikuttavat suoran suuntaan ja sijaintiin koordinaatistossa.

Havaitaan, että suoran kulmakerroin kuvaa sen jyrkkyyttä. Tarkemmin sanottuna suoran kulmakerroin on suoran pisteiden $y$-koordinaattien erotuksen suhde $x$-koordinaattien erotukseen. Tämä osoitetaan seuraavassa teoreemassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Seuraava teoreema osoittaa, että suoran yhtälön ratkaistusta muodosta voidaan suoraan lukea, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Tutkitaan suoraa $L$, joka kulkee pisteiden $(1,-1)$ ja $(5,4)$ kautta. Voimme määrittää sille suuntavektorin ja normaalivektorin. Normaalivektorin avulla saamme muodostettua suoralle $L$ normaalimuotoisen yhtälön. Sen jälkeen voimme muokata tämän yhtälön ratkaistuun muotoon samaan tapaan kuin aikaisemmin.

Yritetään kuitenkin muodostaa suoran $L$ yhtälön ratkaistu muoto $y = kx + h$ toisella tavalla. Lasketaan ensin suoran kulmakerroin: $$k = \frac{\textcolor{red}{y_2}-\textcolor{blue}{y_1}}{\textcolor{red}{x_2}-\textcolor{blue}{x_1}} = \frac{\textcolor{red}{4}-(\textcolor{blue}{-1})}{\textcolor{red}{5}-\textcolor{blue}{1}} = \frac{5}{4} = 1{,}25.$$ Suoran $L$ yhtälö on siis muotoa $$y = \frac{5}{4}x + h.$$ Vakion $h$ arvo saadaan selville esimerkiksi tiedosta, että suora $L$ kulkee pisteen $(1,-1)$ kautta. Siis $$-1 = \frac{5}{4}\cdot 1 + h,$$ joten $$h = -\frac{9}{4} = -2{,}25.$$ Etsitty suoran $L$ yhtälö on siis $$y = \frac{5}{4}x - \frac{9}{4}.$$ Seuraava teoreema antaa vielä hieman erilaisen tavan suoran yhtälön muodostamiseen tilanteessa, jossa suoran kulmakerroin ja suoran yksi piste tunnetaan. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Olemme tutkineet $xy$-tason suorien leikkauspisteitä erilaisista näkökulmista lähes kaikissa aiemmissa kursseissa. Seuraavien tehtävien avulla palautetaan mieleen, millaisia suorien leikkauspisteisiin liittyviä tehtäviä aikaisemmin on jo ratkottu.

Kursseissa MAY1 ja MAA2 suorien leikkauspisteitä tutkittiin, kun tarkasteltiin ensimmäisen asteen polynomifunktioita ja ensimmäisen asteen yhtälöitä.

Kurssissa MAA4 suorien leikkauspisteitä tutkittiin, kun selvitettiin suorien leikkauspisteitä vektorilaskennan keinoin ja kun ratkaistiin ensimmäisen asteen yhtälöpareja.

MAA4-kurssissa tarkasteltiin niin sanottuja ensimmäisen asteen yhtälöpareja, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $$ \left\{\begin{aligned} ax+by &= c \\ mx+ny &= k, \end{aligned}\right. $$ missä $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ ja $k$ ovat reaalilukuja. Havaittiin, että tällaisella yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua riippuen siitä, onko yhtälöparia vastaavilla suorilla leikkauspiste vai ei. Näiden vaihtoehtojen lisäksi huomattiin vielä kolmaskin mahdollisuus: yhtälöparin kumpikin yhtälö voi vastata samaa suoraa. Tällöin yhtälöparilla on äärettömän paljon ratkaisuja, koska kyseisen suoran jokainen piste on yksi ratkaisu.

Kurssissa MAA4 yhtälöpareja ratkaistiin niin sanotulla sijoitusmenetelmällä. Tällä kurssilla tutustutaan toiseen ratkaisumenetelmään, jota kutsutaan yhteenlaskumenetelmäksi. Sitä havainnollistetaan alla olevalla esimerkillä.

Messinki on metalliseos, jossa on kuparia ja sinkkiä sekä joskus myös pieniä määriä tinaa tai lyijyä. Eräässä messinkilaadussa on 75 % kuparia ja 25 % sinkkiä. Niin sanotusta Muntz-messingistä 60 % on kuparia ja loput sinkkiä. Näistä kahdesta messinkilaadusta halutaan valmistaa seos, jossa on 3 kg kuparia ja 1,5 kg sinkkiä (tällä sekoitussuhteella valmistettua messinkiä sanotaan keltaiseksi messingiksi). Kuinka paljon kumpaakin seosta tarvitaan?

Merkitään ensimmäisen messinkilaadun määrää kirjaimella $x$ ja Muntz-messingin määrää kirjaimella $y$. Kuparin määräksi näiden messinkilaatujen seoksessa saadaan $0{,}75x + 0{,}60y$. Koska halutaan, että kuparin määrä seoksessa on 3 kg, saadaan yhtälö $$0{,}75x + 0{,}60y = 3.$$ Vastaavalla tavalla sinkin määräksi seoksessa saadaan $0{,}25x + 0{,}40y$. Koska sinkkiä pitää seoksessa 1,5 kg, saadaan yhtälö $$0{,}25x + 0{,}40y = 1{,}5.$$ Havaitaan, että kumpikin yhtälö esittää suoraa. Tämä näkyy siitä, että yhtälöt ovat lähes suoran yhtälön normaalimuodossa $ax + by + c = 0$, vain vakiotermi $c$ on yhtäsuuruusmerkin toisella puolella.

Eri messinkilaatujen määrät $x$ ja $y$ toteuttavat kummankin yhtälön, joten piste $(x,y)$ on näiden suorien leikkauspiste. Se löydetään ratkaisemalla yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} 0{,}75x + 0{,}60y &= 3 \\ 0{,}25x + 0{,}40y &= 1{,}5. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan tämä yhtälöpari yhteenlaskumenetelmällä:

1. Valitaan jompi kumpi tuntemattomista. Kerrotaan yhtälöt sellaisilla luvuilla, että valitun tuntemattoman kertoimiksi tulevat vastaluvut. Esimerkiksi tässä tapauksessa voidaan valita tuntematon $x$, jolloin alempi yhtälö kannattaa kertoa luvulla $-3$: $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}75x} + 0{,}60y &= 3 &\quad &\mid \textcolor{red}{\cdot \,1} \\ \textcolor{red}{0{,}25x} + 0{,}40y &= 1{,}5 &\quad &\mid \textcolor{red}{\cdot \,(-3)} \end{aligned}\right. $$ Yhtälöpari saa näin muodon $$ \left\{\begin{aligned} \textcolor{red}{0{,}75x} + 0{,}60y &= 3 \\ \textcolor{red}{-0{,}75x} \textcolor{blue}{- 1{,}20y} &= \textcolor{blue}{-4{,}5}. \end{aligned}\right. $$
2. Lasketaan yhtälöt yhteen, jolloin saadaan yksi yhtälö, jossa on yksi tuntematon. Nyt tuloksena on yhtälö $$-0{,}6y = -1{,}5.$$
3. Ratkaistaan saatu yhtälö. $$y = \frac{-1{,}5}{-0{,}6} = 2{,}5.$$
4. Valitaan jompi kumpi alkuperäisistä yhtälöistä ja sijoitetaan edellisen kohdan tulos siihen. Esimerkiksi jos nyt valitaan ensimmäinen yhtälö, saadaan $$0{,}75x + 0{,}60 \cdot 2{,}5 = 3.$$ Tästä voidaan ratkaista jäljellä oleva tuntematon: \begin{align*} 0{,}75x + 1{,}5 &= 3 \\ 0{,}75x &= 1{,}5 \\ x &= \frac{1{,}5}{0{,}75} = 2 \end{align*} Ratkaisu on siis $x = 2$ ja $y = 2{,}5$. Tämä näkyy myös alla olevasta kuvasta. Vastauksena kysymykseen voidaan siis sanoa, että Muntz-messinkiä tarvitaan 2,5 kg ja toista messinkilaatua 2 kg.

Ennen sovellustehtäviin syventymistä harjoitellaan vielä suorien leikkauspisteiden etsimistä seuraavien tehtävien avulla.

Seuraavassa tehtävässä harjoitellaan sovellustehtävissä tarvittavaa yhtälöiden muodostamista taulukoinnin avulla.

Edellisessä kappaleessa etsittiin kahden suoran leikkauspistettä. Jos suorat eivät ole yhdensuuntaiset, niillä on aina tasan yksi leikkauspiste. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suorien leikkauspiste ei ole näkyvissä, mutta on helppo kuvitella mielessään, missäpäin koordinaatistoa nämä suorat leikkaavat toisensa.

Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, ne eivät leikkaa toisiaan. Tätä tilannetta on havainnollistettu alla.

Seuraava teoreema osoittaa, että kulmakertoimien avulla voidaan päätellä, ovatko suorat yhdensuuntaisia. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Suorien yhdensuuntaisuuden tietynlainen vastakohta on suorien kohtisuoruus. Sitä voidaan tutkia suuntavektoreiden pistetulon avulla.

Seuraavassa teoreemassa saadaan pistetulon avulla johdettua kulmakertoimille ehto, jonka avulla voidaan tutkia, ovatko suorat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

MAA4-kurssissa otettiin käyttöön suoran normaalivektorin käsite. Normaalivektori tarkoittaa vektoria, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaa suoraa vastaan. Vastaavasti pelkkä normaali tarkoittaa suoraa, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaa suoraa vastaan:

Edellä on tarkasteltu suorien yhdensuuntaisuutta ja kohtisuoruutta. Jos suorat ovat yhdensuuntaiset, niiden välinen kulma on $0^\circ$. Jos suorat ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, niiden välinen kulma on $90^\circ$. Yleisesti kahden suoran välinen kulma määritellään kuten MAA3-kurssissa tehtiin:

Kahden suoran välisen kulman $\alpha$ suuruus on siis aina välillä $[0^\circ, 90^\circ]$. Suorien välisen kulman avulla voidaan $xy$-tason suorille määritellä niin sanottu suuntakulma:

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suoran $L_1$ suuntakulma on $0^\circ$, suoran $L_2$ suuntakulma on $90^\circ$ ja laskevan suoran $L_3$ suuntakulma on $-\alpha = -45^\circ$. Huomaa, että $y$-akselin suuntaiset suorat ajatellaan nouseviksi suoriksi eli niiden suuntakulma on $90^\circ$.

MAA4-kurssilla opittiin laskemaan pisteen etäisyys suorasta vektoreiden avulla. Seuraavan esimerkin avulla palautetaan mieleen, miten se onnistuu.

Tarkastellaan alla näkyvää suoraa $L$, jonka yksi suuntavektori on $\vv = 2\vi - 3\vj$ ja pistettä $Q = (3,4)$. Tehtävänä on määrittää pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$.

Valitaan suoralta $L$ jokin piste, esimerkiksi $(2,1)$, ja muodostetaan sen avulla vektori pisteestä $Q$ siihen suoran pisteeseen, joka on lähimpänä pistettä $Q$:

Punaisella piirretty vektori $\vw$ saadaan sinisten vektoreiden summana: $$\vw = -\vi - 3\vj + t(2\vi - 3\vj)$$ Lisäksi vaaditaan, että punaisella piirretty vektori $\vw$ on kohtisuorassa suoran suuntavektoria $\vv = 2\vi - 3\vj$ vastaan. Tämän ehdon avulla saadaan ratkaistua parametrin $t$ arvo. Kysytty etäisyys saadaan selville laskemalla vektorin $\vw$ pituus.

Analyyttinen geometria antaa mahdollisuuden laskea pisteen $Q$ etäisyyden suorasta $L$ myös toisella tavalla. Ideana on muodostaa yhtälö suoran $L$ sille normaalille, joka kulkee pisteen $Q$ kautta:

Suoran ja sen normaalin leikkauspiste löydetään ratkaisemalla näiden muodostama yhtälöpari. Leikkauspisteen ja Pythagoraan lauseen avulla voidaan määrittää pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$:

Edellisen tehtävän menetelmällä on mahdollista johtaa yleinen lauseke pisteen $(x_0,y_0)$ etäisyydelle suorasta $ax + by + c = 0$. Tämä tehdään seuraavassa teoreemassa. Teoreeman perustelu on sen verran työläs, ettei kaikkia yksityiskohtia ole kirjoitettu näkyviin. Lue perustelu ja keskity miettimään, miten sen vaiheet liittyvät äsken ratkaisemasi tehtävän 2.31 vaiheisiin. Sievennysten yksityiskohtiin ei tarvitse kiinnittää huomiota.