Kisallioppiminen.fi Logo

beta kisallioppiminen.fi MAB2 - Lausekkeet ja yhtälöt

$\def\vi{\bar{\imath}} \def\vj{\bar{\jmath}} \def\vv{\bar{v}} \def\vu{\bar{u}} \def\vw{\bar{w}} \def\va{\bar{a}} \def\vb{\bar{b}} \def\vc{\bar{c}} \def\vk{\bar{k}} \def\vn{\bar{n}} \def\pv{\overline} \def\R{\mathbb{R}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\N{\mathbb{N}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\pa{\mathopen]} \def\pe{\mathclose[} \def\lb{\mathop{\mathrm{lb}}} \require{color} \newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} $

Ensimmäisen asteen yhtälö

Tämän luvun tavoitteena on, että ratkaiset sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä. Osaat

  • piirtää ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaajan ja määrittää funktion arvoja sen avulla
  • päätellä ensimmäisen asteen polynomifunktion lausekkeesta, onko kuvaaja nouseva vai laskeva suora ja millä korkeudella se leikkaa $y$-akselin
  • laskea polynomien summan ja erotuksen sekä monomien tulon
  • tunnistaa lineaarisesti toisistaan riippuvat suureet ja selvittää niiden arvoja sekä graafisesti että laskennallisesti
  • tutkia sijoittamalla, onko annettu luku yhtälön ratkaisu
  • ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön
  • tulkita vastauksen myös tapauksissa, joissa yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja tai kaikki luvut ovat sen ratkaisuja
  • mallintaa ja ratkaista sovellusongelmia.

Tämän kurssin aiheina ovat lausekkeet ja yhtälöt. Ensimmäinen päämäärä on oppia ratkaisemaan sujuvasti ensimmäisen asteen yhtälöitä. Tätä varten perehdymme tässä kappaleessa ensimmäisen asteen polynomifunktioihin. Niitä voidaan käyttää apuna, kun tutkitaan ensimmäisen asteen yhtälöiden ratkaisuja.

Aloitetaan palauttamalla mieleen, miten koordinaatiston pisteitä merkitään.

Koordinaattiakselien leikkauspistettä eli origoa on yllä olevassa kuvassa merkitty kirjaimella $O$.

  1. Tavoitteena on päästä origosta $O$ pisteeseen $A$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta ylöspäin? Mitkä ovat pisteen $A$ koordinaatit?
  2. Tavoitteena on päästä origosta pisteeseen $B$. Kuinka monta yhden ruudun mittaista askelta pitää kulkea oikealle? Entä kuinka monta alaspäin? Mitkä ovat pisteen $B$ koordinaatit? Miten ilmaistaan se, että pisteeseen $B$ päästäkseen pitää liikkua pystysuunnassa alaspäin eikä ylöspäin?
  3. Mitkä ovat pisteen $C$ koordinaatit?
  4. Mitkä ovat pisteen $D$ koordinaatit?

  1. Pitää kulkea 2 askelta oikealle ja 3 askelta ylöspäin. Pisteen $A$ koordinaatit ovat siten $(2,3)$.
  2. Pitää kulkea 3 askelta oikealle ja 1 askel alaspäin. Pisteen $B$ koordinaatit ovat siten $(3,-1)$. Miinusmerkillä ilmaistaan, että pystysuunnassa liikutaan alaspäin eikä ylöspäin.
  3. $C = (4,2)$
  4. $D = (-3,1)$

Koordinaatiston piste voidaan siis ilmaista lukuparina $(x,y)$. Ensimmäinen luku $x$ kertoo, missä piste sijaitsee $x$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Toinen luku $y$ kertoo vastaavasti, missä piste sijaitsee $y$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Näitä lukuja kutsutaan pisteen koordinaateiksi.

Kun funktion kuvaaja piirretään koordinaatistoon, muuttujan arvot ovat $x$-akselilla ja funktion arvot ovat $y$-akselilla. Kuvaajan pisteen $y$-koordinaatti on aina sama kuin funktion arvo.

Yllä on näkyvissä funktion $g$ kuvaaja. Päättele sen avulla vastaukset seuraaviin kysymyksiin:

  1. Mikä on funktion $g$ arvo kohdassa $x = 1$? Toisin sanottuna, mitä on $g(1)$?
  2. Määritä $g(0)$.
  3. Saako funktio $g$ jossain kohdassa arvon $4$? Toisin sanottuna, onko olemassa sellainen $x$, että $g(x) = 4$?
  4. Onko olemassa sellainen $x$, että $g(x) = 0$?

  1. Kuvaajan mukaan $g(1) = 2$, sillä kuvaaja kulkee pisteen $(1,2)$ kautta.
  2. Kohdassa $x = 3$ funktion arvo on $g(3) = 4$. Kuvaaja kulkee pisteen $(3,4)$ kautta.
  3. Kohdassa $x = -1$ funktion arvo on $g(-1) = 0$. Kuvaaja kulkee pisteen $(-1,0)$ kautta eli leikkaa $x$-akselin kohdassa $x = -1$.
  4. Kuvaajan mukaan $g(0) = 1$, sillä kuvaaja kulkee pisteen $(0,1)$ kautta.

Edellisen tehtävän funktio on yksi esimerkki ensimmäisen asteen polynomifunktiosta. MAY1-kurssilta tuttu määritelmä kertoo tarkemmin, millaisia funktioita kutsutaan ensimmäisen asteen polynomifunktioiksi:

MÄÄRITELMÄ: ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

Funktiota $f$, joka on muotoa $$f(x) = ax+b,$$ missä $a\neq 0$, sanotaan ensimmäisen asteen polynomifunktioksi.

Tutkitaan funktiota $f(x) = 1{,}5x - 2$.

  1. Vertaa funktion $f$ lauseketta ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmään. Mikä tässä tapauksessa on määritelmän kerroin $a$? Entä mikä on vakio $b$?
  2. Laske funktion arvo kohdassa $x = 2$ eli laske, mitä on $f(2)$.
  3. Laske $f(0)$.
  4. Päättele a- ja b-kohtien avulla kaksi pistettä, joiden kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee.
  5. Piirrä funktion $f$ kuvaaja laskimella tai tietokoneella ja tarkista, päättelitkö c-kohdassa pisteet oikein.

  1. $a = 1{,}5$ ja $b = -2$, huomaa miinusmerkki.
  2. $f(2) = 1$
  3. $f(0) = -2$
  4. Pisteet ovat $(2,1)$ ja $(0,-2)$.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktioiden kuvaajia. Kopioi alla oleva taulukko vihkoosi ja täydennä se yhdistämällä oikea kuvaaja jokaiseen funktioon. Päättele sen jälkeen vastaukset alla oleviin kysymyksiin.

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $
$\ g(x) = -2x-1 \ $
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $
$\ k(x) = -x+2 \ $

Miten funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voi päätellä,

  1. onko kuvaaja nouseva suora (kuten kuvissa A ja C) vai laskeva suora (kuten kuvissa B ja D)?
  2. millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin?
  3. kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle?

Funktio Kuvaaja
$\ f(x) = 3x \ $   C
$\ g(x) = -2x-1 \ $   D
$\ h(x) = 0{,}5x+1 \ $   A
$\ k(x) = -x+2 \ $   B

Funktion $f(x) = ax + b$ lausekkeesta voidaan päätellä seuraavaa:

  1. Jos kerroin $a$ on positiivinen, kuvaaja on nouseva suora. Jos kerroin $a$ on negatiivinen, kuvaaja on laskeva suora.
  2. Vakiotermi $b$ ilmaisee, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin.
  3. Kerroin $a$ ilmaisee, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora. Jos funktio on muotoa $$f(x) = ax + b,$$ missä $a \neq 0$, niin sen kuvaaja on suora, jonka yhtälö on $$y = ax + b.$$ Vakio $b$ ilmaisee, millä korkeudella suora leikkaa $y$-akselin. Kerroin $a$ puolestaan on kyseisen suoran kulmakerroin.

MÄÄRITELMÄ: KULMAKERROIN

Oletetaan, että $a \neq 0$ ja $b$ on mikä tahansa reaaliluku. Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on suoran kulmakerroin.

Laske funktion arvo kohdissa $x = 0$ ja $x = 1$ ja päättele, kuinka monta ruutua kuvaaja nousee tai laskee, kun siirrytään koordinaatistossa yhden ruudun verran oikealle. Selitä omin sanoin, miten suoran kulmakerroin kuvaa sitä, miten jyrkästi suora nousee tai laskee.

  1. $f(x) = 7x - 3$
  2. $g(x) = -5x + 8$

  1. Kuvaaja nousee 7 ruutua, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle. Kuvaaja on suora $y = 7x - 3$, jonka kulmakerroin on 7.
  2. Kuvaaja laskee 5 ruutua, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle. Kuvaaja on suora $y = -5x + 10$, jonka kulmakerroin on $-5$.

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = ax + b$ on

  • nouseva, jos $a > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen
  • laskeva, jos $a < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen.

Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Koska ensimmäisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina suora, voi kuvaajan piirtää monella tavalla.

  1. Piirrä funktion $f(x) = 2x-3$ kuvaaja seuraavasti: Määritä jotkin kaksi pistettä, joiden kautta kuvaaja kulkee. Piirrä näiden kautta kulkeva suora.
  2. Piirrä funktion $g(x) = -x+4$ kuvaaja seuraavasti: Päättele funktion lausekkeesta, millä korkeudella kuvaaja leikkaa $y$-akselin ja mikä on kuvaajan kulmakerroin. Piirrä suora näiden tietojen avulla.
  3. Tarkista piirrokset piirtämällä kumpikin kuvaaja laskimella tai tietokoneella.

  1. Kuvaaja kulkee esimerkiksi pisteiden $(0,-3)$ ja $(1,-1)$ kautta.
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella 4 eli pisteessä $(0,4)$. Kuvaajan kulmakerroin on $-1$. Kuvaaja siis laskee aina yhden ruudun, kun siirrytään yhden ruudun verran oikealle.

Niissä kohdissa, joissa funktion kuvaaja leikkaa vaakasuoran $x$-akselin, funktion arvo on nolla. Näitä kohtia kutsutaan funktion nollakohdiksi:

MÄÄRITELMÄ: FUNKTION NOLLAKOHTA

Funktion $f$ nollakohta tarkoittaa sellaista muuttujan $x$ arvoa, jolla funktio saa arvon nolla eli $f(x) = 0$.

Esimerkiksi alla olevan kuvan funktiolla $f$ on yksi nollakohta $x = 3$.

Toisin sanottuna $f(x) = 0$, jos ja vain jos $x = 3$. Siis funktio saa arvon nolla, jos ja vain jos muuttujan arvo on 3.

Päättele, mitä ovat funktioiden nollakohdat kuvissa A-D.

  1. Nollakohta $x = -2$.
  2. Nollakohta $x = 2$.
  3. Nollakohta $x = 0$.
  4. Nollakohta $x = -0{,}5$. Huomaa, että symmetrian avulla voi päätellä, että nollakohta on tasan $-0{,}5$.

Ensimmäisen asteen polynomifunktioita voidaan käyttää monien arkisten ilmiöiden kuvaamiseen ja tutkimiseen. Seuraavassa tehtävässä on yksi esimerkki tällaisesta tilanteesta.

Puhelinliittymän kuukausimaksu on 6 euroa ja puhelut maksavat 0,055 euroa/minuutti.

  1. Kuinka paljon liittymä maksaa, jos kuukauden puheaika on 150 minuuttia?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee liittymän kokonaiskustannukset kuukaudessa, jos puheaika on $x$ minuuttia.
  3. Piirrä funktion $f(x)$ kuvaaja koordinaatistoon esimerkiksi Geogebralla.
  4. Muuta $x$- ja $y$-akselien asteikkojen suhde sopivaksi (esim. 10:1), jotta voit tutkia graafisesti, kuinka paljon puheaikaa saa 20,00 eurolla. Anna vastaus minuutin tarkkuudella.

  1. $6 + 0{,}055 \cdot 150 = 14{,}25$ eli liittymä maksaa kuukaudessa 14,25 euroa, jos puheaika on 150 minuuttia.
  2. $f(x) = 6 + 0{,}055x$
  3. Kuvaaja:
  4. Kuva, jossa $x$- ja $y$-akselien suhde on 10:1, ja kuvaa on zoomattu:

    Kuvaajasta voidaan lukea, että 20,00 eurolla saa puheaikaa 254 minuuttia. Seuraava minuutti korottaa hinnan jo yli 20 euron.

Edellisessä tehtävässä tarkasteltiin kahta suuretta: hintaa ja puheaikaa. Suure tarkoittaa ominaisuutta, joka voidaan mitata tai laskea tai muuten määrittää. Suure ilmaistaan lukuarvon ja yksikön avulla: puheaika on 150 min.

Tehtävässä havaittiin, että puheajan ja hinnan välistä riippuvuutta voidaan kuvata suoralla. Tämä havainto voidaan ottaa lähtökohdaksi, kun sovitaan, mitä tarkoitetaan sillä, että suureet riippuvat toisistaan lineaarisesti.

MÄÄRITELMÄ: LINEAARINEN RIIPPUVUUS

Suureet $x$ ja $y$ riipuvat toisistaan lineaarisesti, jos niiden välinen riippuvuus voidaan kuvata yhtälöllä $$y = ax + b,$$ missä $a \neq 0$.

Lineaarista riippuvuutta kuvaa siis koordinaatistossa suora, jonka kulmakerroin on nollasta poikkeava. Lineaarista riippuvuutta voidaan mallintaa myös ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = ax + b$$ avulla, sillä sen kuvaaja on aina tällainen suora.

Päättele kuvaajista, riipuvatko suureet $x$ ja $y$ toisistaan lineaarisesti. Selitä omin sanoin.

  1. Suureet $x$ ja $y$ riippuvat toisistaan lineaarisesti. Niiden välistä riippuvuutta kuvaa origon kautta kulkeva suora, joka on muotoa $y = ax$. Kulmakerroin $a = 0{,}5$.
  2. Suureet $x$ ja $y$ eivät riipu toisistaan lineaarisesti, koska kuvaaja ei ole suora.
  3. Suureet $x$ ja $y$ riippuvat toisistaan lineaarisesti, sillä niiden välistä riippuvuutta kuvaa suora. Kulmakerroin $a = -2/3$.

Taksimatkan hintaa (euroina) Helsingissä lauantai-iltana klo 19 kuvaa funktio $$ f(x) = 9{,}0 + 1{,}6x, $$ missä $x$ on matkan pituus kilometreinä.

  1. Laske $f(15)$ ja selitä omin sanoin, mitä tulos tarkoittaa.
  2. Piirrä funktion $f$ kuvaaja koordinaatistoon ja selvitä sen avulla, kuinka pitkän matkan taksilla voi ajaa 49 eurolla.
  3. Mikä on taksimatkan perusmaksu, jonka asiakas joutuu maksamaan matkan pituudesta riippumatta? Miten se näkyy funktion $f$ lausekkeessa? Entä kuvaajassa?

  1. $f(15) = 9 + 1{,}6 \cdot 15 = 33$, joten 15 kilometrin taksimatka maksaa 33 euroa.
  2. Jos käytettävissä on 49 euroa, taksilla voi ajaa 25 km:
  3. Perusmaksu on 9,00 euroa. Se näkyy funktion lausekkeessa vakiona. Kuvaajassa perusmaksu on se korkeus, jolla kuvaaja leikkaa $y$-akselin:

Käytännössä suureiden lineaarinen riippuvuus voidaan tunnistaa muodostamalla funktio, joka ilmaisee, miten toinen suure saadaan laskettua, jos toinen tunnetaan. Jos näin syntynyt funktio on ensimmäisen asteen polynomifunktio, riippuvat suureet toisistaan lineaarisesti.

Perusterveen lapsen laskimonsisäisen nesteytyksen tarve arvoidaan perinteisesti käytetyn mallin mukaan seuraavasti: Jos lapsen paino on 10-20 kg, tarvitaan nestettä tunnissa 40 ml ja lisäksi 2 ml/kg jokaista 10 kg ylittävää kilogrammaa kohti.

  1. Kuinka paljon nestettä tarvitsee tunnin aikana lapsi, joka painaa 13 kg?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee tunnissa tarvittavan nestemäärän, kun lapsen paino on $10 + x$ kilogrammaa.
  3. Piirrä funktion $f$ kuvaaja. Minkä painoisen lapsen nesteytyksen tarve on 50 ml tunnissa?
  4. Kuvaajasta näkyy, miten tippapussin nestemäärä (ml) riippuu ajasta (h). Kysymyksessä on 15 kg painava lapsi. Milloin tippapussi on tyhjä? Kuinka paljon nestettä tippapussissa oli alunperin?

  1. Lapsi tarvii nestettä $40 + 3 \cdot 2 = 46$ millilitraa.
  2. $f(x) = 40 + 2x$
  3. Kuvaajasta nähdään, että 50 ml nestettä tunnissa tarvitsee lapsi, joka paino on $10 + 5 = 15$ kg.
  4. Tippapussi on tyhjä 10 tunnin kuluttua. Nestettä oli alunperin 500 ml.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten polynomeilla lasketaan. Polynomi tarkoittaa lauseketta, joka on muodostettu muuttujista (eli kirjaimista) ja vakioista (eli luvuista) käyttämällä yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Esimerkiksi $$2x^3-5x^2 + 8x -3$$ on polynomi, samoin $$7x^4-9.$$ Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia. Esimerkiksi $$5xy^2-3x+5y^3-3$$ on kahden muuttujan polynomi. Tällä kurssilla keskitytään yhden muuttujan polynomeihin.

Mitkä seuraavista väitteistä ovat oikein? Perustele vastauksesi omin sanoin ja korjaa samalla väärät väitteet oikeiksi. Kertaa tarvittaessa polynomeihin liittyviä käsitteitä Opetus.tv:n sivuilta.

  1. Polynomissa $-4x^2+8x-3$ on viisi termiä.
  2. Polynomin $7x^4-6x^3+4x$ toisen asteen termin kerroin on nolla.
  3. Polynomin $x^7-x+6$ aste on kolme.
  4. Polynomin $x^3-9x^2+4$ vakiotermi on $4$.
  5. Polynomi $3x^5-x^2$ on monomi.
  6. Lauseke $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{2}$ on binomi.

  1. Väärin, polynomissa on kolme termiä.
  2. Oikein, sillä sama polynomi voidaan kirjoittaa $7x^4-6x^3 + 0x^2 +4x$.
  3. Väärin, polynomin aste on 7.
  4. Oikein.
  5. Väärin, tämä polynomi on binomi. Monomiksi sanotaan polynomia, jossa on vain yksi termi.
  6. Oikein, sillä tämä lauseke voidaan kirjoittaa muodossa $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x$.

Polynomien yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään samaa astetta olevat termit. Seuraavat laskut havainnollistavat ideaa:

Reppureissaaja löytää lompakostaan 35 euroa ja 25 puntaa. Hänen kaverillaan on puolestaan taskussaan 15 euroa ja 7 puntaa. Kuinka paljon rahaa kaveruksilla on yhteensä? \begin{align*} &\quad (35 \,€ + 25 \,£) + (15 \,€ + 7 \,£) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£. \end{align*} Tässä laskettiin eurot yhteen keskenään ja punnat yhteen keskenään. Yhdistettiin siis ne luvut, joilla kirjainosa oli sama.

Paluumatkalla kaverukset ostavat tuliaisia ja käyvät syömässä. Tähän kuluu yhteensä 40 euroa ja 27 puntaa. Kuinka paljon rahaa jää jäljelle? \begin{align*} &\quad (50 \,€ + 32 \,£) \textcolor{red}{-} (40 \,€ + 27 \,£) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ \textcolor{red}{-} 40 \,€ \textcolor{red}{-} 27 \,£\\ &= 10 \,€ + 5 \,£. \end{align*} Huomaa, että polynomien vähennyslaskussa jälkimmäisen polynomin jokainen merkki vaihtuu.

Muodosta ja laske polynomien $x^2+3x-6$ ja $-4x^2+x-2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $-3x^2+4x-8$
  2. $5x^2+2x-4$

Muodosta ja laske polynomien $4x^3-2x^2+3x+1$ ja $-3x^2-3x+2$

  1. summa
  2. erotus.

  1. $4x^3-5x^2+3$
  2. $4x^3+x^2+6x-1$

Kun polynomia kerrotaan luvulla, kerrotaan jokainen polynomin termi erikseen samaan tapaan kuin seuraavassa laskussa:

Kun reppureissaaja ja hänen kaverinsa palasivat Suomeen, he päättivät lahjoittaa viidesosan jäljelle jääneistä rahoista hyväntekeväisyyteen ja jakaa loput rahoista tasan. Kuinka paljon he lahjoittivat hyväntekeväisyyteen? \begin{align*} \frac{1}{5} (10 \,€ + 5 \,£) &= \frac{1}{5} \cdot 10 \,€ + \frac{1}{5} \cdot 5 \,£\\[1mm] &= \frac{10}{5} \,€ + \frac{5}{5} \,£\\[1mm] &= 2 \,€ + 1 \,£ \end{align*} Jos molemmissa tulon tekijöissä on kirjainosa, sievennetään lopputuloksen kirjainosa potenssin määritelmän ja laskusääntöjen mukaan. Esimerkiksi monomien $-2x^3$ ja $-4x^2$ tulo on \begin{align*} -2x^3\cdot (-4x^2) &= -2 \cdot (-4) \cdot xxxxx \\ &= 8x^5 \end{align*}

Laske seuraavat tulot:

  1. $-3x^4 \cdot 5x^2$
  2. $4x(x-5)$
  3. $-3x^2(-4x^2+x-2)$

  1. $-15x^6$
  2. $4x^2-20x$
  3. $12x^4 - 3x^3 + 6x^2$

Sellaiset murtolausekkeet, joiden osoittajana on polynomi ja nimittäjänä jokin luku, ovat itsekin polynomeja. Esimerkiksi murtolauseketta \begin{align*} \frac{x-2}{4} \end{align*} voidaan muokata tekemällä jakolasku termeittäin seuraavasti: \begin{align*} \frac{x-5}{4} &= \dfrac{x}{4}-\dfrac{5}{4} = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4} \end{align*} Huomaa, että neljällä jakaminen vastaa yhdellä neljäsosalla kertomista. Viimeisestä muodosta nähdään, että kysymyksessä on ensimmäisen asteen polynomi.

Muokkaa murtolauseke polynomiksi tekemällä jakolasku termeittäin:

  1. $\dfrac{15x - 3}{5}$
  2. $\dfrac{4x + 6}{12}$

  1. Tehdään jakolasku termeittäin: \begin{align*} \dfrac{15x - 3}{5} &= \dfrac{15x}{5} - \dfrac{3}{5} \\[1mm] &= 3x - \dfrac{3}{5} \end{align*}
  2. Tehdään jakolasku termeittäin ja supistetaan: \begin{align*} \dfrac{4x + 6}{12} &= \dfrac{4x}{12} + \dfrac{6}{12} \\[1mm] &= \dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{2} \\[1mm] &= \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{2} \end{align*}

Kun lasketaan murtolausekkeena kirjoitettujen polynomien summia ja erotuksia, pitää lausekkeet laventaa samannimisiksi samaan tapaan kuin murtoluvuilla laskettaessa. Lisäksi pitää huomata, että miinusmerkki murtolausekkeen edessä vaikuttaa koko osoittajaan. Esimerkiksi \begin{align*} \frac{5x-7}{2}\textcolor{red}{-}\frac{x-4}{3} &= \frac{\textcolor{blue}{3}(5x-7)}{\textcolor{blue}{3} \cdot 2}\textcolor{red}{-}\frac{\textcolor{blue}{2}(x-4)}{\textcolor{blue}{2} \cdot 3} \\[1mm] &= \frac{3(5x-7)}{6}\textcolor{red}{-}\frac{2(x-4)}{6} \\[1mm] &= \frac{3(5x-7)\textcolor{red}{-}2(x-4)}{6} \\[1mm] &= \frac{15x-21\textcolor{red}{-}2x\textcolor{red}{+}8}{6} \\[1mm] &= \frac{13x-13}{6} \\[1mm] &= \frac{13}{6}x - \frac{13}{6} \end{align*}

Sievennä seuraavat lausekkeet. Huomaa, että murtolausekkeet ovat jo valmiiksi samannimisiä.

  1. $\dfrac{8x-11}{3} + \dfrac{4x - 7}{3}$
  2. $\dfrac{7-5x}{8} - \dfrac{3x - 5}{8}$

  1. \begin{align*} \dfrac{8x-11 + 4x - 7}{3} &= \dfrac{12x - 18}{3} \\[1mm] &= 4x - 6 \end{align*}
  2. \begin{align*} \dfrac{7-5x-(3x-5)}{8} &= \dfrac{7-5x-3x+5}{8} \\[1mm] &= \dfrac{12-8x}{8} \\[1mm] &= \dfrac{12}{8} - \dfrac{8x}{8} \\[1mm] &= \dfrac{3}{2} - x \end{align*}

Laske

  1. $\dfrac{3x+1}{2} + \dfrac{x-4}{5}$
  2. $\dfrac{3x+1}{2} - \dfrac{x-4}{5}$

  1. $\dfrac{17x-3}{10} = \dfrac{17}{10}x - \dfrac{3}{10}$
  2. $\dfrac{13x+13}{10} = \dfrac{13}{10}x + \dfrac{13}{10}$

Kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = 2x + 1$ saa arvon $4$, päädytään tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 4$$ eli yhtälöä $$2x + 1 = 4.$$ Tämä yhtälö voidaan ratkaista graafisesti piirtämällä funktion $f(x) = 2x + 1$ kuvaaja koordinaatistoon ja katsomalla, mikä kuvaajan piste on korkeudella 4:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajan piste on korkeudella 4 kohdassa $x = 1{,}5$. Yhtälön ratkaisu on siis $x = 1{,}5$.

Tehtävänä on ratkaista ensimmäisen asteen yhtälö $$-3x - 1 = 5$$ graafisesti samaan tapaan kuin edellisessä esimerkissä.

  1. Piirrä koordinaatistoon funktion $f(x) = -3x-1$ kuvaaja ja tutki, missä kohdassa kuvaajan piste on korkeudella 5.
  2. Mikä on yhtälön ratkaisu?
  3. Tarkista tulos sijoittamalla se alkuperäisen yhtälön vasemmalle puolelle. Saatko tulokseksi yhtälön oikean puolen eli luvun $5$?

  1. Yhtälön ratkaisu on $x = -2$.
  2. Kyllä, sillä $-3 \cdot (-2) -1 = 6 - 1 = 5$.

Ensimmäisen asteen yhtälöitä ovat sellaiset yhtälöt, jotka voidaan muokata muotoon $$ ax + b = 0, $$ missä $a \neq 0$. Tällaisen yhtälön ratkaisut ovat samat kuin ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = ax + b$$ nollakohdat.

Yllä on näkyvissä ensimmäisen asteen polynomifunktion $$ f(x) = -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} $$ kuvaaja.

  1. Päättele kuvaajan avulla, mikä on yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu.
  2. Tarkista ratkaisu sijoittamalla se yhtälön vasemmalle puolelle.

  1. Yhtälön $$ -\dfrac{2}{3}x + \dfrac{8}{3} = 0 $$ ratkaisu on funktion $f$ nollakohta $x = 4$.
  2. Jos $x = 4$, yhtälön vasen puoli on $$ -\dfrac{2}{3} \cdot 4 + \dfrac{8}{3} = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{8}{3} = 0. $$ Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat siis yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että $x = 4$ on todellakin yhtälön ratkaisu.

Seuraavan määritelmän avulla voi aina tarkistaa, onko jokin luku yhtälön ratkaisu. Tarkistus on tehty näin myös edellisissä tehtävissä.

MÄÄRITELMÄ: YHTÄLÖN RATKAISU

Yhtälön ratkaisu eli juuri tarkoittaa lukua, joka muuttujan paikalle sijoitettuna tekee yhtälön vasemmasta ja oikeasta puolesta yhtä suuria.

Tutki sijoittamalla, ovatko seuraavat luvut yhtälön $$x^2 + 6x = 8x+3$$ ratkaisuja. Laske erikseen yhtälön vasemman puolen arvo ja oikean puolen arvo ja vertaa tuloksia sen jälkeen.

  1. $3$
  2. $1$
  3. $-1$

  1. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $27$.
  2. Ei ole ratkaisu, sillä yhtälön vasen puoli saa arvon $7$ ja oikea arvon $11$.
  3. On ratkaisu, sillä yhtälön vasen ja oikea puoli saavat saman arvon $-5$. Huomaa, että yhtälön vasen puoli on $(-1)^2 + 6 \cdot (-1) = 1 - 6 = -5$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

  1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
  2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
  3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $x+2$ ja $2x$.
  2. Ratkaise yhtälö $x + 2 = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?
  3. Ratkaise yhtälö $2x = 10$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit?

  1. Lauseke $x + 2$ on summa ja lauseke $2x$ on tulo.
  2. $x = 8$. Ainakin operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku 2).
  3. $x = 5$. Ainakin operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla 2).

  1. Selitä omin sanoin, mitä eroa on lausekkeilla $4(x+8)$ ja $4x + 8$. Kumpaa voisi sanoa summaksi? Entä kumpaa tuloksi?
  2. Ratkaise yhtälö $4x + 8 = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?
  3. Ratkaise yhtälö $4(x+8) = 88$. Mitä edellä mainituista operaatioista 1-3 käytit ensimmäisenä?

  1. Lauseke $4(x+8)$ on lausekkeiden $4$ ja $x+8$ tulo.
    Lauseke $4x + 8$ on lausekkeiden $4x$ ja $8$ summa.
  2. $x = 20$. Operaatiota 2 (yhtälön molemmilta puolilta vähennettiin luku $8$).
  3. $x = 14$. Operaatiota 3 (yhtälön molemmat puolet jaettiin luvulla $4$).

Tämän kappaleen alussa ratkaistiin graafisesti funktion kuvaajan avulla yhtälö $$2x+1 = 4.$$ Jos sama yhtälö ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, vähennetään aluksi yhtälön molemmilta puolilta luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$2x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla 2. Näin päädytään yhtälöön $$x = \dfrac{3}{2}.$$ Koska käytettiin vain sallittuja operaatioita, löydettiin yhtälön ratkaisu. Ratkaisun voi lisäksi aina tarkistaa sijoittamalla alkuperäiseen yhtälöön: $$ 2 \cdot \dfrac{3}{2} + 1 = 3 + 1 = 4. $$ Yhtälön vasemmasta puolesta saatiin yhtä suuri kuin yhtälön oikeasta puolesta, joten $$ x = \dfrac{3}{2} $$ on yhtälön ratkaisu.

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $3x+4 = 2x-1$
  2. $2-(3x-1) = 3-(8x+1)$.

Ohje: b-kohdassa aloita poistamalla sulut yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta.

  1. $x = -5$
  2. $x = -\dfrac{1}{5}$.

Jos yhtälössä esiintyy murtolausekkeita, kannattaa niistä yrittää hankkiutua eroon mahdollisimman nopeasti. Yleispätevä tapa on kertoa yhtälön molemmat puolet kaikkien nimittäjien tulolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$ \dfrac{x}{3} - \dfrac{2-x}{4} = \dfrac{x-3}{2} + 2x. $$ Yhtälössä on kolme erilaista nimittäjää: luvut 3, 4 ja 2. $$ \dfrac{x}{\textcolor{blue}{3} } - \dfrac{2-x}{\textcolor{blue}{4} } = \dfrac{x-3}{\textcolor{blue}{2} } + 2x. $$ Muodostetaan nimittäjien tulo $\textcolor{blue}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \textcolor{red}{24}$ ja kerrotaan yhtälön molemmat puolet sillä: $$ \dfrac{\textcolor{red}{24}x}{3} - \dfrac{\textcolor{red}{24}(2-x)}{4} = \dfrac{\textcolor{red}{24}(x-3)}{2} + \textcolor{red}{24} \cdot 2x. $$ Jokainen yhteenlaskettava siis kerrotaan nimittäjien tulolla, tarvittaessa käytetään sulkuja. Sen jälkeen voidaan laskea jakolaskut, jolloin päästään nimittäjistä eroon: $$ 8x - 6(2-x) = 12(x-3) + 48x. $$ Tästä eteenpäin yhtälön ratkaisu etenee normaalisti. Ensin sievennetään yhtälön vasen ja oikea puoli: \begin{align*} 8x - 12 + 6x &= 12x - 36 + 48x \\[1mm] 14x - 12 &= 60x - 36 \quad \textcolor{blue}{\mid + 12} \\[1mm] 14x &= 60x - 24 \quad \textcolor{blue}{\mid -60x} \\[1mm] -46x &= -24 \phantom{ {} -2} \quad \, \textcolor{blue}{\mid \, : -46} \\[1mm] x &= \dfrac{-24}{-46} = \dfrac{12}{23}. \end{align*}

Ratkaise seuraavat yhtälöt:

  1. $\dfrac{x}{4} = x + 1$
  2. $\dfrac{2x-1}{3} - \dfrac{x}{2} = 5x-1$

  1. $x = -\dfrac{4}{3}$
  2. $x = -\dfrac{4}{29}$.

Yhtälön ulkonäöstä ei aina voi päätellä, onko kysymyksessä ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkiksi yhtälö $$5x-8x + 9 = 3(3-x)$$ näyttää ensimmäisen asteen yhtälöltä, koska siinä esiintyy vain muuttujan $x$ ensimmäinen potenssi. Kun yhtälön vasen ja oikea puoli sievennetään, se saadaan muotoon $$-3x + 9 = 9-3x.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $9$, päädytään yhtälöön $$-3x = -3x.$$ Tästä nähdään, että yhtälö toteutuu, sijoitetaanpa muuttujan $x$ paikalle mikä tahansa luku. Tarkastellun yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki reaaliluvut.

Jos yhtälön molemmille puolille lisätään vielä $3x$, päädytään yhtälöön $$0 = 0.$$ Tämäkin yhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Huomataan, että kysymyksessä ei ollut ensimmäisen asteen yhtälö, sillä tarkasteltua yhtälöä ei voinut esittää muodossa $ax+b = 0$, missä $a \neq 0$.

Toinen esimerkki on yhtälö $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x).$$ Kun sen vasen ja oikea puoli sievennetään, yhtälö saadaan muotoon $$2x + 2 = 2x-1.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $2x$, päädytään yhtälöön $$2 = -1.$$ Huomataan, että tämä yhtälö on epätosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälöllä ei siis ole yhtään ratkaisua.

  1. Onko edellä tarkasteltu yhtälö $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x)$$ ensimmäisen asteen yhtälö? Selitä omin sanoin.
  2. Ratkaise yhtälö $$3x - \frac{1-2x}{2} = 4x.$$
  3. Ratkaise yhtälö $$\frac{2x-1}{3} - \frac{x}{2} = \frac{x-2}{6}.$$

  1. Tämä yhtälö ei ole ensimmäisen asteen yhtälö, sillä esimerkissä nähtiin, että sitä ei voida esittää muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$.
  2. Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, sillä se on yhtäpitävä yhtälön $-1 = 0$ kanssa. Tämä yhtälö on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.
  3. Kaikki luvut ovat tämän yhtälön ratkaisuja, sillä yhtälö on yhtäpitävä yhtälön $0 = 0$ kanssa. Tämä on tosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla.

Monet käytännön ongelmat voidaan selvittää muodostamalla ja ratkaisemalla sopiva yhtälö. Aluksi kannattaa koota ja jäsentää kaikki ongelmaan liittyvät tiedot esimerkiksi taulukon muotoon. Sen jälkeen kannattaa miettiä, mitä halutaan saada selville. Jos tuntemattomia on vain yksi, merkitään sitä jollakin kirjaimella. Usein käytetään kirjainta $x$, mutta muitakin kirjaimia voi käyttää.

Puhelinliittymien A ja B hintatiedot on koottu alla olevaan taulukkoon. Tehtävänä on selvittää, mikä kuukausittaisen puheajan pitäisi olla, jotta liittymän A hankkiminen olisi taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen. Ajatellaan, että liittymää käytetään yhden vuoden ajan.

Liittymä Avaus (€) Kk-maksu (€/kk) Puhelun hinta (€/min)
A 5,00 6,00 0,055
B 3,90 4,90 0,07
  1. Mitkä ovat liittymän A kustannukset ensimmäisen kuukauden aikana, jos puheaika on 180 minuuttia? Entä mitkä ovat liittymän A kustannukset vuodessa, jos puheaika on 180 minuuttia joka kuukausi?
  2. Mitkä ovat liittymän A kustannukset vuodessa, jos puheaika on $x$ minuuttia joka kuukausi? Muodosta ja sievennä lauseke.
  3. Mitkä ovat liittymän B kustannukset vuodessa, jos puheaika on $x$ minuuttia joka kuukausi? Muodosta ja sievennä lauseke.
  4. Muodosta b- ja c-kohtien avulla yhtälö, josta saat ratkaistua mikä on puheaika silloin, kun kummankin liittymän kustannukset ovat samat.
  5. Ratkaise d-kohdan yhtälö. Mikä kuukausittaisen puheajan pitäisi olla (minuutin tarkkuudella), jotta liittymän A hankkiminen olisi taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen?

  1. Ensimmäisessä kuussa liittymän A kustannukset ovat 20,90 euroa, jos puheaika on 180 minuuttia. Vuodessa kustannuksia kertyy 195,80 euroa.
  2. Liittymän A kustannukset vuodessa ovat $77 + 0{,}66x$.
  3. Liittymän B kustannukset vuodessa ovat $62{,}7 + 0{,}84x$.
  4. Yhtälö on $$ 62{,}7 + 0{,}84x = 77 + 0{,}66x. $$ Ratkaisuksi saadaan $$ x = \dfrac{14{,}3}{0{,}18} \approx 79{,}4. $$ Kuukausittaisen puheajan pitää olla vähintään 80 minuuttia, jotta liittymän A hankkiminen on taloudellisesti kannattavampaa kuin liittymän B hankkiminen.

Jos tuntemattomia on useita, pitää niistä valita yksi, jota merkitään kirjaimella. Valinta kannattaa tehdä niin, että muut tuntemattomat voidaan ilmaista saman kirjaimen avulla. Tätä havainnollistetaan seuraavassa tehtävässä.

Kiia, Ida ja Elias ostivat yhdessä kuuden euron arvan. Kiia osallistui arvan ostoon yhdellä eurolla, Ida kahdella ja Elias kolmella eurolla. He päättivät, että jakavat mahdollisen voiton sijoitusten suhteessa 1 : 2 : 3. Siis Ida saa kaksi kertaa sen mitä Kiia ja Elias saa kolme kertaa sen mitä Kiia.

Kaikkien yllätykseksi he voittivat arvalla 9000 euroa. Tehtävänä on selvittää, kuinka monta euroa kukin saa.

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko.
    Henkilö Osuus
    Kiia
    Ida
    Elias
    Yht.
  2. Merkitse Kiian osuutta kirjaimella $x$. Mikä on Idan osuus kirjaimen $x$ avulla ilmaistuna? Entä Eliaksen osuus? Täydennä ne taulukkoon. Ilmaise osuuksien yhteismäärä kirjaimen $x$ avulla.
  3. Mikä on osuuksien yhteismäärä taulukon mukaan? Mikä on osuuksien yhteismäärä euroina? Millaisen yhtälön saat?
  4. Ratkaise muodostamasi yhtälö. Kuinka monta euroa kukin saa?
  5. Miten voit tarkistaa, että saamasi tulos on järkevä? Keksi ainakin yksi tapa ja selitä omin sanoin.

  1. Taulukko:
    Henkilö Osuus
    Kiia $x$
    Ida $2x$
    Elias $3x$
    Yht. $6x$
  2. Osuuksien yhteismäärästä saadaan yhtälö $$ 6x = 9000. $$
  3. Yhtälön ratkaisu on $x = 1500$. Voitto pitää siis jakaa seuraavasti: Kiian osuus $x = 1500$ euroa, Idan osuus $2x = 3000$ euroa ja Eliaksen osuus $3x = 4500$ euroa.
  4. Voi tarkistaa, että osuuksien summa on 9000 euroa. Lisäksi voi tarkistaa, että Idan osuus on kaksi kertaa Kiian osuus ja että Eliaksen osuus on kolme kertaa Kiian osuus.

Vili lastaa veneen peräkärryyn ja lähtee kuljettamaan sitä Haminasta Turkuun nopeudella 80 km/h. Emma lähtee hänen peräänsä puoli tuntia myöhemmin henkilöautolla. Tehtävänä on selvittää, kuinka kauan Emman on ajettava nopeudella 100 km/h ennen kuin hän saa Vilin kiinni. Kuinka kaukana Haminasta he silloin ovat?

  1. Piirrä vihkoosi alla oleva taulukko. Täydennä taulukkoon kummankin nopeus.
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h)
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee:
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $\phantom{ 0{,}5 \cdot 80 }$ $\phantom{ 0{,}5 \cdot 80 }$
  2. Kuinka kauas Vili on ehtinyt, kun Emma lähtee liikkeelle? Entä kuinka kauas Vili on ehtinyt, kun Emma on ollut matkalla $x$ tuntia? Hyödynnä tietoa Vilin tuntinopeudesta.
  3. Mikä on Emman etäisyys Haminasta, kun hän lähtee liikkeelle? Entä kuinka kauas Emma on ehtinyt, kun hän on ollut matkalla $x$ tuntia?
  4. Emma saavuttaa Vilin, kun heidän etäisyytensä Haminasta on yhtä suuri. Muodosta taulukon avulla sopiva yhtälö ja ratkaise se. Kuinka kauan kestää, että Emma saa Vilin kiinni?
  5. Kuinka kaukana Haminasta he ovat silloin?

  1. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee:
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia:
  2. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee: $0{,}5 \cdot 80 = 40$
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $40 + 80x$
  3. Taulukko:
    Henkilö Vili Emma
    Nopeus (km/h) 80 100
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma lähtee: $0{,}5 \cdot 80 = 40$ $0$
    Etäisyys (km) Haminasta, kun Emma ollut matkalla $x$ tuntia: $40 + 80x$ $100x$
  4. Yhtälö on $$ 100x = 40 + 80x. $$ Ratkaisuksi saadaan $x = 2$. Emma saa siis Vilin kiinni kahden tunnin kuluttua.
  5. Kun Emma on ollut matkalla 2 tuntia, hänen etäisyytensä Haminasta on $2 \cdot 100 = 200$ km.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Mitkä seuraavista pisteistä ovat funktion $f(x) = -3x+2$ kuvaajan pisteitä? Perustele vastauksesi sopivilla laskuilla ja tarkista tuloksesi piirtämällä funktion kuvaaja.

  1. $(0,2)$
  2. $(2,-3)$
  3. $(1,-1)$

  1. On.
  2. Ei ole.
  3. On.

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Olkoon $f(x) = -2x+5$. Määritä

  1. funktion $f$ arvo kohdassa nolla
  2. funktion $f$ nollakohta
  3. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $x$-akselin
  4. piste, jossa funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin.

Vertaa kohtien (a)-(d) vastauksia toisiinsa. Selitä havaintosi omin sanoin.

  1. $f(0) = 5$
  2. $x = \dfrac{5}{2}$
  3. $\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)$
  4. $(0,5)$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Päättele, mistä ensimmäisen asteen polynomifunktiosta $f(x) = ax + b$ on kysymys. Toisin sanottuna päättele, mitkä ovat kertoimen $a$ ja vakion $b$ arvot. Kuvaajan hahmotteleminen voi auttaa päättelyssä.

  1. Tiedetään, että $f(3) = 3$ ja funktion $f$ kuvaaja leikkaa $y$-akselin korkeudella $-3$.
  2. Tiedetään, että $f(1) = 2$ ja $f(2) = -1$.
  3. Tiedetään, että $f(0) = 2$ ja funktiolla $f$ on nollakohta $x = 4$.

  1. $f(x) = 2x-3$
  2. $f(x) = -3x+5$
  3. $f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 2$

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Tutki funktiota $f(x) = ax + 3$.

  1. Määritä se vakion $a$ arvo, jolla funktion $f$ nollakohta on $x = 4{,}5$.
  2. Onko olemassa sellainen piste $(x,y)$, jonka kautta funktion $f$ kuvaaja kulkee aina vakion $a$ arvosta riippumatta? Perustele vastauksesi omin sanoin ja sopivien laskujen tai piirrosten avulla.

  1. $a = -\dfrac{2}{3}$
  2. $(0,3)$

Lineaarinen riippuvuus

Erään sähköyhtiön hinnasto on seuraava: sähkön myynnin perusmaksu on 3,84 €/kk ja sähköenergian hinta on 6,55 c/kWh.

  1. Kuinka suuri on kuukauden sähkölasku, jos sähkönkulutus on 230 kilowattituntia kuukaudessa?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee sähkölaskun suuruuden, jos sähkönkulutus on $x$ kWh kuukaudessa.
  3. Kilpailevan sähköyhtiön perusmaksu on 5,99 €/kk ja sähköenergian hinta on 4,69 c/kWh. Millä sähkönkulutuksella kummankin yhtiön lähettämä sähkölasku olisi yhtä suuri? Anna vastaus kilowattitunnin tarkkuudella.

  1. Sähkölasku on 18,91 euroa.
  2. $f(x) = 0{,}0655x + 3{,}84$
  3. Kulutuksen pitäisi olla noin 116 kWh kuukaudessa.

Lineaarinen riippuvuus

Kun seurattiin paistilämpömittarin lukemia, havaittiin, että paistin sisälämpötila nousi koko ajan tasaisesti siten, että viidessä minuutissa lämpötila kohosi $2 {}^\circ\text{C}$. Kello 15 lämpömittarin lukema oli $30 {}^\circ\text{C}$.

  1. Mikä on paistin lämpötila puolen tunnin kuluttua?
  2. Muodosta funktio $f(x)$, joka ilmaisee paistin lämpötilan, kun kello kolmesta on kulunut $x$ minuuttia.
  3. Mihin aikaan paisti on kypsä? Ohjeen mukaan se on kypsä, kun sisälämpötila on $62 {}^\circ\text{C}$.

  1. Lämpötila on $42 {}^\circ\text{C}$.
  2. $f(x) = 30 + \dfrac{2}{5}x$ eli $f(x) = 30 + 0{,}4x$
  3. Paisti on kypsä klo 16.20 eli 80 minuutin kuluttua.

Lineaarinen riippuvuus

Yhdysvalloissa käytetään lämpötila-asteikkona yleisesti Fahrenheit-asteikkoa. Fahrenheitasteet saadaan muunnettua celsiusasteiksi yhtälön $$ y = \dfrac{5}{9}(x - 32) $$ avulla. Tässä $x$ on lämpötila fahrenheitasteina ja $y$ on sama lämpötila celsiusasteina ilmaistuna.

  1. Säätiedotus lupaa San Franciscoon enimmäkseen aurinkoista säätä ja lämpötilaksi $68 {}^\circ\text{F}$. Ilmaise lämpötila celsiusasteina.
  2. Kuinka kylmä Alaskassa on, jos lämpötila painuu alle nollan Fahrenheit-asteikolla?
  3. Missä lämpötilassa Celsius- ja Fahrenheit-asteikot näyttävät samaa lukemaa?

  1. Lämpötila on $20 {}^\circ\text{C}$.
  2. Noin $-17{,}8 {}^\circ\text{C}$.
  3. Lämpötilassa $-40 {}^\circ\text{C}$.
    Yhtälö on $$ x = \dfrac{5}{9}(x - 32) $$

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $(2x + 4) + (3x-8)$
  2. $(x - 7) - (2x - 2)$
  3. $x + 5x^2 - 3x^2 + 3x - x^2$

  1. $5x - 4$
  2. $-x-5$
  3. $4x + x^2$

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $7 - 3(4x-2)$
  2. $2(5y + 4) + 2(y + 9)$
  3. $3(x - 2x^2)-(x + x^2) + 2(x + 3x^2)$

  1. $-12x + 13$
  2. $12y + 26$
  3. $4x - x^2$

Polynomien laskutoimituksia

Sievennä seuraavat lausekkeet:

  1. $5x(x-3)$
  2. $-4x^2(8x-7x^3)$
  3. $6a(1-9b)$

  1. $5x^2 - 15x$
  2. $-32x^3 + 28x^5$
  3. $6a - 54ab$

Polynomien laskutoimituksia

Muokkaa murtolauseke polynomiksi tekemällä jakolasku termeittäin:

  1. $\dfrac{15x + 10}{5}$
  2. $\dfrac{20x^2 + 8x}{2x}$
  3. $\dfrac{14x^4 + 7x^2}{7x^2}$

  1. $3x + 2$
  2. $10x + 4$
  3. $2x^2 + 1$

Polynomien laskutoimituksia

Laske:

  1. $\dfrac{3x + 3}{4} - \dfrac{5x-1}{12}$
  2. $\dfrac{x}{3} - \dfrac{2-x}{4}$
  3. $x - \dfrac{2(x-1)}{5}$

  1. $\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{6}$
  2. $\dfrac{7}{12}x - \dfrac{1}{2}$
  3. $\dfrac{3}{5}x + \dfrac{2}{5}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt:

  1. $4x - 3 = 9$
  2. $6x - 15 = 3x + 12$
  3. $6 - 7x = 14 - 5x$

  1. $x = 3$
  2. $x = 9$
  3. $x = -4$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt:

  1. $3x-5(2x-6) = 0$
  2. $\dfrac{2x-3}{4} = \dfrac{5x-6}{7}$
  3. $3x - \dfrac{x-1}{2} = 4$

  1. $x = \dfrac{30}{7}$
  2. $x = \dfrac{1}{2}$
  3. $x = \dfrac{7}{5}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt

  1. $\dfrac{x + 2}{5} = \dfrac{x-3}{6}$
  2. $\dfrac{2}{3}x - 1 = \dfrac{2}{3}$

[Lyhyt S2014/1a & S2012/1b]

  1. $x = -27$
  2. $x = \dfrac{5}{2}$

Ensimmäisen asteen yhtälö

Ratkaise yhtälöt

  1. $3(2x-1) = 3x - 3$
  2. $4(3x+1) = 12x + 4$
  3. $2(5-x) = 5 - 2x$

  1. $x = 0$
  2. Kaikki luvut toteuttavat yhtälön.
  3. Mikään luku ei toteuta yhtälöä eli yhtälöllä ei ole ratkaisua.

Yhtälön sovelluksia

Anna, Benjamin ja Elisa jakavat 1800 euroa niin, että Anna saa 25 % enemmän kuin Benjamin ja Elisa saa 20 % enemmän kuin Anna. Kuinka paljon rahaa kukin saa?

Anna 600 €, Benjamin 480 € ja Elisa 720 €.
Jos Benjaminin saamaan rahasummaa merkitään kirjaimella $x$, yhtälö on $$ x + 1{,}25x + 1{,}20 \cdot 1{,}25x = 1800 $$

Yhtälön sovelluksia

Suorakulmion muotoinen kenttä on aidattu 124 metriä pitkällä aidalla. Laske kentän pinta-ala, kun sen pituus on 8 m suurempi kuin leveys.

$945 \text{ m}^2$
Jos suorakulmion leveyttä merkitään kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 2x + 2(x + 8) = 124. $$ Sen ratkaisuna saadaan suorakulmion leveys $x = 27$ metriä. Pituus on $x + 8 = 35$ metriä. Suorakulmion pinta-ala on sen leveyden ja pituuden tulo.

Yhtälön sovelluksia

Kaksi työntekijää otti urakakseen huolehtia rästiin jääneiden tilausten toimittamisen asiakkaille. Urakkapalkkioksi sovittiin 1800 euroa. Lisäksi sovittiin, että palkkio jaetaan työntekijöille heidän tekemiensä työtuntien mukaan ja viikonlopulle osuneista työtunneista saa kaksinkertaisen korvauksen. Työntekijälle A kertyi 45 työtuntia ja työntekijälle B 40 tuntia, joista 12 tuntia hän oli tehnyt viikonloppuisin. Miten urakkapalkkio piti jakaa työntekijöiden kesken?

Työntekijän A palkkio 835,05 euroa ja työntekijän B palkkio 964,95 euroa.
Jos merkitään yhden tunnin palkkiota kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 45x + 28x + 12 \cdot 2x = 1800. $$ Tästä saadaan välivaiheiden jälkeen ratkaistua yhden tunnin palkkio $$ x = \dfrac{1800}{97} \approx 18{,}5567 \text{euroa}. $$

Yhtälön sovelluksia

Kauppias maksoi tuotteesta 50 euroa. Kuinka suureksi hänen pitäisi asettaa myyntihinta, jotta hän voisi myydä tuotteen tarvittaessa 15 % alennuksella ja saada silti voittoa 10 % itse maksamastaan hinnasta?

Myyntihinnan pitää olla vähintään 64,71 euroa.
Voiton määrä on $0{,}1 \cdot 50 = 5$ euroa. Alennetun hinnan pitää siten olla 55 euroa. Jos merkitään myyntihintaa kirjaimella $x$, saadaan yhtälö $$ 0{,}85x = 55. $$ Tästä saadaan $$ x = \dfrac{55}{0{,}85} \approx 64{,}71. $$

Mauna Loa -observatoriossa Havaijilla on mitattu ilmakehän hiilidioksidipitoisuutta jo vuodesta 1958 alkaen. Maaliskuussa 1958 mittaukset osoittivat ilmakehän hiilidioksidipitoisuudeksi noin 316 ppm (parts per million eli miljoonasosaa). Maaliskuussa vuonna 2016 pitoisuudeksi mitattiin noin 405 ppm.

  1. Kuinka monta prosenttia hiilidioksidin määrä ilmakehässä on lisääntynyt edellä mainittujen mittauskertojen välillä?
  2. Tutkija mallintaa hiilidioksidipitoisuuden kasvua suoralla $y = kt + 316$. Tässä $y$ kuvaa hiilidioksidipitoisuutta (yksikkönä ppm) ja $t$ kulunutta aikaa vuoden 1958 maaliskuusta alkaen (yksikkönä vuosi). Määritä se suoran kulmakerroin $k$, jolla malli antaa mitatun tuloksen maaliskuussa 2016.
  3. Minkä arvon b-kohdan mallisi antaa maaliskuun 2020 hiilidioksidipitoisuudelle?

[Lyhyt K2018/5]

  1. Noin 28 %.
  2. Kulmakerroin $k = 1{,}53448\ldots \approx 1{,}53$.
  3. Noin 411 ppm.

Kahden sähköyhtiön A ja B hinnoittelu perustuu kiinteään kuukausittaiseen perusmaksuun, johon lisätään sähkön kulutuksen mukainen lisämaksu. Yhtiöiden tarjoamat hinnat selviävät alla olevasta taulukosta.

Yhtiö Perusmaksu €/kk Yksikköhinta snt/kWh
A 4,02 6,62
B 3,75 7,99
  1. Muodosta lausekkeet $a(x)$ ja $b(x)$ kummankin yhtiön tarjoaman sähkön kokonaishinnalle, kun sähköä kuluu $x$ kWh ja aikavälinä on yksi kuukausi.
  2. Kuinka suuri täytyisi sähkönkulutuksen olla kuukausittain, jotta kokonaishinnat olisivat samat?
  3. Kuinka suuri on sähkön kokonaishintojen välinen ero vuoden aikana, jos sähköä kuluu 2000 kWh vuodessa?

[Lyhyt S2015/6]

  1. Lausekkeet: \begin{align*} a(x) &= 0{,}0662x + 4{,}02 \\ b(x) &= 0{,}0799x + 3{,}75 \end{align*}
  2. Kuukausikulutuksen tulisi olla noin 19,7 kWh.
  3. Vuoden aikana yhtiö B veloittaa 24,16 euroa enemmän.

Alla on kolmen suoran kuvaajat. Esitä niiden yhtälöt muodossa $y = kx + b$. Perusteluita ei tarvita.

[Lyhyt K2015/1]

  • Suoran 1 yhtälön on $y = 2x$.
  • Suoran 2 yhtälö on $y = -x + 1$.
  • Suoran 3 yhtälö on $y = -\frac{1}{2}$.

Yksinkertaistetun mallin mukaan ilman lämpötila laskee lineaarisesti korkeuden $h$ suhteen noin 11 kilometriin saakka. Merenpinnan tasolla $h = 0$ keskilämpötila on $+15$ celsiusastetta ja 11 kilometrin korkeudella $-56$ celsiusastetta.

  1. Kuinka monta astetta ilma jäähtyy, kun noustaan 5,0 kilometrin korkeudelta 1,0 kilometriä ylöspäin?
  2. Määritä ilman lämpötilan lauseke $T = T(h)$ korkeuden $h$ avulla lausuttuna ja piirrä sen kuvaaja $(h,T)$-koordinaatistoon, kun $0 \leq h \leq 11 \text{ km}$.

[Lyhyt K2015/5]

  1. Kun noustaan 11 km, ilma jäätyy 71 astetta. Kilometrin nousua kohti ilma jäähtyy $$ \frac{71}{11} \approx 6{,}5 $$ astetta.
  2. Ilman lämpötila korkeuden funktiona on $$ T(h) = -\dfrac{71}{11}h + 15, $$ missä $0 \leq h \leq 11 \text{ km}$. Kuva:

  1. Ratkaise yhtälö $$ 2(x+4) - 3(x-3) = 0. $$
  2. Sievennä lauseke $$ \dfrac{3a - 6a^2}{3a} $$

[Lyhyt K2013/1a & 1c]

  1. $x = 17$
  2. $\dfrac{3a - 6a^2}{3a} = 1 - 2a$

Yhtiö valmistaa kännykkäkoteloita, joiden valmistuskustannukset ovat 12,30 € kappale. Tämän lisäksi yhtiön kiinteät kustannukset ovat 98 000 euroa. Koteloita myydään aluksi 17,99 eurolla, mutta viimeiset 25 % myydään varaston tyhjentämiseksi 14,00 eurolla kappale. Oletetaan, että yhtiö saa myytyä kaikki kotelot. Tehtävässä ei oteta huomioon verotusta.

  1. Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön kokonaiskustannuksia koteloiden valmistusmäärän $x$ avulla lausuttuna.
  2. Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön saamaa voittoa valmistusmäärän $x$ avulla lausuttuna.
  3. Kuinka monta koteloa yhtiön täytyy valmistaa, jotta kiinteät kustannukset saadaan katettua yllä mainitulla hinnoittelustrategialla?

[Lyhyt K2013/14]

  1. $98\,000 + 12{,}30x$
  2. $4{,}6925x - 98000$
  3. Koteloita täytyy valmistaa vähintään 20 885 kappaletta.

Aikuisen ihmisen sääriluun pituus $y$ riippuu henkilön pituudesta $x$ kaavojen \begin{align*} y &= 0{,}43x - 27 \qquad \text{(nainen)} \\ y &= 0{,}45x - 31 \qquad \text{(mies)} \end{align*} mukaisesti, kun yksikkönä on senttimetri.

  1. Arkeologi löytää naisen sääriluun, joka on 41 cm pitkä. Kuinka pitkä nainen oli?
  2. Kaivauksissa löytyneen miehen pituudeksi arvioidaan 175 cm. Miehen läheltä löytyy sääriluu, jonka pituus on 42 cm. Onko kyseessä saman henkilön sääriluu?

[Lyhyt S2012/11]

  1. Nainen oli n. 158 cm pitkä.
  2. Mallin mukaan miehen sääriluun pituus olisi n. 48 cm, joten kyseessä ei ole saman henkilön sääriluu.

  1. Funktion $$ f(x) = \dfrac{3}{2}x + b $$ nollakohta on $2$. Määritä vakion $b$ arvo.
  2. Missä pisteessä a-kohdan funktion kuvaaja leikkaa $y$-akselin?

[Lyhyt K2012/4a & 4b]

  1. $b = -3$
  2. Kuvaaja leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0,-3)$.

Ludwig van Beethoven, Wolfgang Amadeus Mozart ja Johann Sebastian Bach elivät yhteensä 156 vuotta. Bach eli yhdeksän vuotta vanhemmaksi kuin Beethoven, Mozart kuoli 21 vuotta nuorempana kuin Beethoven. Kuinka vanhoiksi säveltäjät elivät?
[Lyhyt S2011/4]

Beethoven eli 56-vuotiaaksi, Mozart 35-vuotiaaksi ja Bach 65-vuotiaaksi.

  1. Määritä lausekkeen $$ x(4x - 2) - 3x(x-1) - x $$ arvo, kun $x = -1$.
  2. Muuttujan arvo $x = 2$ toteuttaa yhtälön $$ x(x-5) + ax = 2. $$ Määritä kerroin $a$.

[Lyhyt K2015/2a & 2c]

  1. Kysytty arvo on $1$.
  2. $a = 4$

  1. Suoran kulmakerroin on $-\frac{1}{3}$, ja suora kulkee pisteen $(-1,2)$ kautta. Esitä suoran yhtälö muodossa $$ y = kx + b. $$
  2. Millä muuttujan $x$ arvolla lausekkeet $2x + 3$ ja $-(x+3)$ saavat saman arvon?

[Lyhyt K2009/3a & S2013/1b]

  1. $-\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$
  2. Lausekkeet saavat saman arvon, jos ja vain jos $x = -2$.

Kaupunkeja A ja B yhdistää 170 kilometriä pitkä maantie. Alpo lähtee A:sta klo 8.20 ajamaan kohti B:tä keskinopeudella 120 km/h. Berit lähtee B:stä klo 8.35 ajamaan kohti A:ta keskinopeudella 105 km/h. Kuinka kaukana A:sta ja mihin aikaan Alpo ja Berit kohtaavat? Muodosta sopiva yhtälö ja ratkaise se.
[Lyhyt K2009/5]

Alpo ja Berit kohtaavat klo 9.12, kun he ovat 104,7 km etäisyydellä kaupungista A.

Millä vakion $a$ arvoilla suorat $y = −3x + 2$ ja $y = ax + 6$ erottavat $x$-akselista janan, jonka pituus on $3$?
[Lyhyt S2008/8]

Arvolla $a = −\frac{18}{11}$ ja arvolla $a = \frac{18}{7}$.

Henkilö osti 150 gramman erän maustettua teetä 3,30 eurolla ja halvempaa mustaa teetä, jonka hinta oli 5,50 e/kg. Kuinka monta grammaa mustaa teetä tulisi maustetee-erään lisätä, jotta sekoituksen kilohinta olisi puolet maustetun teen kilohinnasta?
[Lyhyt S2007/5]

Mustaa teetä tulisi lisätä 300 g.

Täyttäessään 20 vuotta Laura oli 25 prosenttia vanhempi kuin sisarensa Veera. Kuinka monta prosenttia sisartaan vanhempi Laura on täyttäessään 30 vuotta?
[Lyhyt K2007/9]

Laura on noin 15,4 % vanhempi kuin sisarensa.

Autoilija ajoi 28 kilometriä pitkän tieosuuden nopeudella 80 km/h. Lopun matkasta hän ajoi moottoritietä pitkin. Millä keskinopeudella hän ajoi moottoritieosuuden, kun hän perille tultuaan totesi keskinopeuden koko 75 kilometrin ajomatkansa osalta olleen 100 km/h?
[Lyhyt K2006/6]

Keskinopeudella 117,5 km/h.

Metsänomistaja teetti metsätöitä urakoitsijalla ja sopi alustavasti työn hinnaksi kuitupuun osalta 14 €/m3 ja tukkipuun osalta 9,2 €/m3. Kuitupuuta kertyi 156 m3 ja tukkipuuta 89,4 m3. Alustaviin hintoihin ei sisältynyt kuitenkaan arvonlisäveroa, vaikka metsänomistaja oli näin ymmärtänyt. Keskustelujen jälkeen osapuolet päätyivät sopimukseen, jonka mukaan urakoitsija alentaa ilmoittamiaan verottomia hintoja siten, että koko urakan osalta metsänomistajalle koituva lisämaksu tulee yhtä suureksi kuin urakoitsijan antama alennus. Kuinka paljon metsänomistaja maksoi teettämästään työstä arvonlisäveroineen? Arvonlisäveron suuruus on 22 % työn verottomasta hinnasta.
[Lyhyt S2004/7]

Metsänomistaja maksoi 3304,42 euroa.

Koulutuslinjalle hyväksytyistä 207 opiskelijasta oli naisopiskelijoita 25 % enemmän kuin miesopiskelijoita. Määritä nais- ja miesopiskelijoiden määrät muodostamalla sopiva yhtälö ja ratkaisemalla tämä.
[Lyhyt K2004/3]

Naisopiskelijoita oli 115 ja miesopiskelijoita 92.

Ratkaise yhtälö $$ 5(3x+1) - 4(3-2x) = 2x. $$ Tutki, toteuttaako tämä ratkaisu myös yhtälön $$ 27x^3 - 54x + 17 = 0. $$ [Lyhyt S2003/2]

Ratkaisu on $x = \frac{1}{3}$. Sijoittamalla huomataan, että se toteuttaa myös yhtälön $$ 27x^3 - 54x + 17 = 0. $$

Henkilöauto, jonka nopeus on 100 km/h, ryhtyy ohittamaan edessään olevaa nopeudella 80 km/h ajavaa henkilöautoa. Ohittaja siirtyy vasemmalle kaistalle ollessaan 40 metrin päässä ohitettavasta ja palaa oikealle kaistalle 60 metrin päähän ohitettavan eteen. Kuinka pitkän matkan ohittaja ajoi vasemmalla kaistalla, ja kuinka kauan tämä ohitus kesti? Autojen pituuksia ei oteta huomioon.
[Lyhyt S2003/11]

Ohittaja ajoi vasemmalla kaistalla 500 m. Ohitus kesti 18 s.

Varmista, että olet oppinut tämän luvun keskeiset asiat tekemällä itsearviointitesti opetus.tv:n polku-palvelussa. Samalla harjoittelet omien ratkaisujesi pisteyttämistä pisteytysohjeiden avulla.