Merkitään alkuperäistä yhden lapsen nimiin sijoitettua rahasummaa kirjaimella $a$. Esikoisen rahasumma 10 vuoden kuluttua oli $$ 1{,}035^{10} \cdot a \approx 1{,}411a. $$ Kuopuksen osakkeiden arvo oli $$ 1{,}04^{10}a \approx 1{,}480a. $$ Arvonnoususta meni 30 % vero, minkä jälkeen rahaa jäi noin $$ 0{,}7 \cdot 0{,}480a + a = 1{,}336a. $$ Esikoisella oli siis enemmän rahaa, tarkemmin sanottuna noin 5,6 % enemmän kuin kuopuksella.

Bakteerien määrää $t$ tunnin kuluttua kuvaa likimain funktio $$ B(t) = 188\,988 \cdot 2^{\frac{t}{3}} $$ joten 20 tunnin kuluttua bakteereja on noin $B(20) \approx 19\,000\,000$.

Atomeista on jäljellä

1. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{2T}{T} = \dfrac{1}{4}$ eli 25 %.
2. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{T}{2T} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ eli noin 71 %.
3. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^\frac{10T}{T} = \dfrac{1}{1024}$ eli noin 0,098 %.

Olkoon cesiumin määrä alussa $a$. Määrä $t$ kuukauden kuluttua saadaan funktiosta $$ f(t) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{3}. $$ Lokakuun lopussa vuonna 1987 cesiumia oli $$ f(18) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{18}{3} = 0{,}015625a. $$ Jäljellä oli siis noin 1,6 % alkuperäisestä määrästä.

1. $x = \dfrac{5}{2}$
   (Koska eksponenttifunktio on aidosti monotoninen riippumatta kantaluvusta $k$, saadaan yhtälö $5 + x = 3x$.)
2. $x = 6$
   (Koska eksponenttifunktio on aidosti monotoninen riippumatta kantaluvusta $k$, saadaan yhtälö $x-4 = \frac{x}{3}$.)

Sovelletaan funktion $f$ määritelmää ja potenssien laskusääntöjä: \begin{align*} f(ax) &= k^{ax} = \left(k^x\right)^a = \left(f(x)\right)^a. \end{align*}

1. $A_0 \approx 0{,}23 \text{ Bq}.$
2. \begin{align*} A(2000) &\approx 0{,}23e^{-1{,}20968\cdot 10^{-4} \cdot 2000} \text{ Bq} \\ &\approx 0{,}18 \text{ Bq}. \end{align*}
3. Noin 21,4 %.
   Tämä on laskettu b-kohdan pyöristämättömällä tuloksella $0{,}180574477234\ldots \text{ Bq}$.

1. Noin 10,0 %.
2. Kuvaajasta voidaan lukea, että kondensaattorin jännite turvaa tiedot noin 6,5 tunnin sähkökatkoksen ajan:
   

1. Luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan \begin{align*} \ln (e^9) &= 9 \\[2mm] \ln \left(\dfrac{1}{e^5}\right) &= \ln (e^{-5}) = -5 \end{align*}
2. Yhtälön $\ln x = -0{,}5$ ratkaisu on luonnollisen logaritmin määritelmän mukaan $$x = e^{-0{,}5} = \dfrac{1}{\sqrt{e}}.$$

1. $f'(x) = \dfrac{2e^{3x} + 2}{e^x}$
2. $g'(x) = 2(e^{2x} - e^{-2x}) =\dfrac{2(e^{4x} - 1)}{e^{2x}}$
3. $h'(x) = -10(5x+1)^3e^{-\frac{1}{2}(5x+1)^4}$

Derivaattafunktion $$ f'(x) = -e^{-x} - 1 $$ arvot ovat kaikkialla negatiivisia. Nimittäin kaikilla $x \in \R$ pätee $e^{-x} > 0$ ja siten $$ f'(x) = -e^{-x} - 1 < 0 - 1 = -1. $$ Koska derivaattafunktion arvot ovat kaikkialla negatiivisia, on funktio $f$ kaikkialla aidosti vähenevä.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = xe^x + e^x $$ on yksi nollakohta $x = -1$. Kulkukaavion avulla nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Tämä on $$ f(-1) = -e^{-1} + 1 \approx 0{,}63 > 0. $$ Koska funktion pienin arvo on positiivinen, ovat sen kaikki arvot positiivisia.

1. Funktion $f(x) = e^x - 2x$ derivaattafunktiolla $$f'(x) = e^x - 2$$ on tasan yksi nollakohta $x = \ln (2)$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio saa siinä pienimmän arvonsa. Koska pienin arvo on \begin{align*} f(\ln (2)) &= 2 - 2\ln(2) \\ &\approx 0{,}62 > 0, \end{align*} ovat funktion kaikki arvot positiivisia. Funktiolla ei siis ole nollakohtia eikä alkuperäisellä yhtälöllä ole ratkaisuja.
2. Funktion $g(x) = e^x - 3x$ derivaattafunktiolla $$g'(x) = e^x - 3$$ on tasan yksi nollakohta $x = \ln (3)$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio saa siinä pienimmän arvonsa. Tämä on \begin{align*} g(\ln(3)) &= 3 - 3\ln(3) \\ &\approx -0{,}30 < 0. \end{align*} Lisäksi $$g(0) = 1 > 0$$ ja $$g(2) = e^2 - 6 \approx 1{,}4 > 0,$$ joten jatkuvalla funktiolla $g$ on Bolzanon lauseen mukaan ainakin yksi nollakohta välillä $\pa 0, \ln(3)\pe$ ja ainakin yksi nollakohta välillä $\pa \ln(3), 2\pe$ (MAA6, teoreema 1). Kulkukaavion mukaan $g$ on aidosti vähenevä välillä $\pa 0, \ln(3)\pe$ ja aidosti kasvava välillä $\pa \ln(3), 2\pe$, joten kummallakin välillä nollakohtia on enintään yksi.

1. Kuva:
   
2. $A(x) = 2xe^{-x}$, missä $x > 0$.
3. Suurin mahdollinen pinta-ala on $$A(1) = 2e^{-1} \approx 0{,}736.$$ Se löydetään derivaattafunktion $$ A'(x) = (2-2x)e^{-x} $$ nollakohdasta. Kulkukaavion avulla voidaan varmistaa, että kysymyksessä todella on pienin arvo.

Käyrälle piirretyn tangentin kulmakerroin on funktion $$ f(x) = ae^{-\frac{1}{2}x^2} $$ derivaattafunktion $$ f'(x) = -axe^{-\frac{1}{2}x^2} $$ arvo kohdassa $x = 1$: $$ f'(1) = -ae^{-\frac{1}{2}} = -\frac{a}{\sqrt{e}}. $$ Sivuamispiste on $(1, f(1)) = \left(1, \frac{a}{\sqrt{e}}\right)$, joten tangentin yhtälö on $$ y = -\frac{a}{\sqrt{e}} x + \frac{2a}{\sqrt{e}}. $$ Sen ja $x$-akselin leikkauspisteen $y$-koordinaatti on nolla. Yhtälön $$ -\frac{a}{\sqrt{e}} x + \frac{2a}{\sqrt{e}} = 0 $$ ratkaisuksi saadaan $x = 2$. Leikkauspiste on siis $(2,0)$.

Funktiolla on minimiarvo $f(0) = 0$ ja maksimiarvo $f(2) = 4e^{-2}$.

Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = (2x-x^2)e^{-x} $$ on kaksi nollakohtaa: $x_1 = 0$ ja $x_2 = 2$. Kulkukaavion avulla saadaan selville, että $x_1 = 0$ on minimikohta ja $x_2 = 2$ on maksimikohta.

Tiedetään, että kaikilla $x \in \R$ pätee $x^2 \geq 0$ ja $e^{-x} > 0$, joten funktion $f$ arvot ovat aina epänegatiivisia. Siten $f(0) = 0$ on funktion $f$ pienin arvo.

Funktio $f$ on välillä $\pa -\infty, 0]$ aidosti vähenevä ja esimerkiksi $f(-2) = 4e^{2} \approx 29{,}6$ on suurempi kuin maksimiarvo $f(2)$, joten funktiolla $f$ ei ole suurinta arvoa.

Tutkitaan, onko erotusfunktiolla $$ f(x) = e^x - x - 1 $$ pienin arvo. Derivaattafunktiolla $$ f'(x) = e^x - 1 $$ on tasan yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaavion avulla nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Pienin arvo on $$ f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0, $$ joten $f(x) \geq 0$ kaikilla reaaliluvuilla $x$. Siis $$ e^x \geq 1 + x $$ kaikilla reaaliluvuilla $x$.

Leikkauspisteet löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ (x^2 + 2x - 1)e^x = -e^x. $$ Leikkauspisteet ovat $x_1 = 0$ ja $x_2 = -2$. Käyrät voidaan ajatella funktioiden $$ f(x) = (x^2 + 2x - 1)e^x $$ ja $$ g(x) = -e^x $$ kuvaajiksi. Derivaattafunktiot ovat $$ f'(x) = (x^2 + 4x + 1)e^x $$ ja $$ g'(x) = -e^x. $$ Kohdassa $x = 0$ käyrille piirrettyjen tangenttien kulmakertoimien tulo on $-1$, sillä $f'(0) = 1$ ja $g'(0) = -1$. Käyrät siis leikkaavat toisensa kohtisuorasti, koska niiden tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

1. Kuva:
   
2. Esimerkiksi $P = (a, e^a)$.
3. Tangentin yhtälö on $$ y = e^ax + (1-a)e^a. $$ Se leikkaa $x$-akselin pisteessä $(a-1, 0)$.
4. Pisteen $P$ kautta kulkevan $y$-akselin suuntaisen suoran yhtälö on $x = a$, joten se leikkaa $x$-akselin pisteessä $(a,0)$. Tämä suora ja tangentti erottavat $x$-akselista janan, jonka pituus on $a - (a-1) = 1$.

Derivaattafunktion $$ f'(x) = e^{-x}(\cos x - \sin x) $$ nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $$ \cos x = \sin x. $$ MAA7-kurssin teoreeman 16 mukaan se voidaan kirjoittaa muodossa $$ \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin x. $$ Ratkaisuiksi saadaan välivaiheiden jälkeen $$ x = \frac{\pi}{4} + n \cdot \pi, $$ missä $n$ on kokonaisluku. Suurin ja pienin arvo löytyvät nyt välin $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ päätepisteistä tai sille osuvasta derivaatan nollakohdasta: \begin{align*} f(0) &= \sin 0 = 0 \\[2mm] f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= e^{-\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}322 \\[2mm] f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= e^{-\frac{\pi}{2}} \approx 0{,}208. \end{align*} Funktion pienin arvo välillä $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ on siis $f(0) = 0$ ja suurin arvo on $$ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{\pi}{4}}. $$

1. Funktio on \begin{align*} A(t) &= 3 \text{ GBq} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^\frac{t}{8} \\[2mm] &= 3 \text{ GBq} \cdot e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{t}{8}} \end{align*}
2. Derivaattafunktio on $$ A'(t) = 3 \text{ GBq} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{8} e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{t}{8}}, $$ joten vuorokauden kuluttua $$ A'(1) \approx -0{,}24 \text{ GBq}. $$ Aktiivisuus siis pienenee noin $0{,}24 \text{ GBq}$ vuorokaudessa.
3. Seitsemän vuorokauden kuluttua muutosnopeus on $$ A'(7) \approx -0{,}14 \text{ GBq}. $$ Aktiivisuus siis pienenee noin $0{,}14 \text{ GBq}$ vuorokaudessa.

Olkoon sivuamispisteen $x$-koordinaatti $a$, jolloin sivuamispiste on $$ \left(a, e^{\frac{1}{2}a^2}\right) $$ Suoran kulmakerroin on derivaatan arvo: $$ f'(a) = ae^{\frac{1}{2}a^2}. $$ Huomataan, että se on sama kuin sivuamispisteen $x$- ja $y$-koordinaattien tulo.

Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo: $$ f'(a) = -2ae^{-a^2} $$ Tangentin ja normaalin kulmakertoimien tulo on $-1$, joten normaalin kulmakerroin on $$ \frac{e^{a^2}}{2a}. $$ Normaalin yhtälöksi saadaan $$ y = \frac{e^{a^2}}{2a} x - \frac{e^{a^2}}{2} + e^{-a^2}. $$ Normaalin ja $y$-akselin leikkauspisteessä $x = 0$, joten sen $y$-koordinaatti on $$ y = - \frac{e^{a^2}}{2} + e^{-a^2}. $$ Kun $a \rightarrow 0$, niin $$ y \rightarrow -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}. $$ Leikkauspiste lähestyy siis pistettä $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.

Jos $a = 0$, funktio on $g(x) = x$. Tämä funktio saa myös negatiivisia arvoja, esim. $g(-1) = -1$.

Oletetaan, että $a \neq 0$. Tutkitaan funktion $g$ pienintä arvoa. Derivaattafunktiolla $$ g'(x) = (ax + 1)e^{ax} $$ on tasan yksi nollakohta $x = -\frac{1}{a}$. Lausekkeen $e^{ax}$ arvo on aina positiivinen, joten derivaatan arvo määräytyy lausekkeen $ax + 1$ arvon mukaan.

• Jos $a > 0$, $y = ax + 1$ on nouseva suora, eli derivaatan arvo on negatiivinen nollakohdan vasemmalla puolella ja positiivinen nollakohdan oikealla puolella. Derivaatan nollakohdassa funktio saa pienimmän arvonsa: $$ g\left(-\frac{1}{a}\right) = -\frac{1}{a}e^{-1} + a. $$ Tämä on positiivinen, jos ja vain jos \begin{align*} a &> \frac{1}{a}e^{-1} \\[2mm] a^2 &> \frac{1}{e} \\[2mm] (a < -\frac{1}{ \sqrt{e} } \text{ tai) } &a > \frac{1}{ \sqrt{e} } \end{align*} Huomaa, että epäyhtälön ratkaisussa käytettiin oletusta $a > 0$ kahdessa kohdassa.
• Jos $a < 0$, $y = ax + 1$ on laskeva suora, eli derivaatan arvo on positiivinen nollakohdan vasemmalla puolella ja negatiivinen nollakohdan oikealla puolella. Kokeilemalla huomataan, että esimerkiksi $g(0) = a < 0$. Tässä tilanteessa funktio saa siis negatiivisen arvon ainakin kohdassa $x = 0$.

Funktio $g$ saa siis vain positiivisia arvoja, jos ja vain jos $$ a > \frac{1}{\sqrt{e}}. $$

Pisteen $(x, e^x)$ suorasta $x - y = 0$ on MAA5-kurssin teoreeman 13 mukaan \begin{align*} d(x) &= \frac{\left|x-e^x\right|}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} (e^x - x). \end{align*} Itseisarvojen poistamiseen käytettiin tietoa, että $e^x > x$ kaikilla reaaliluvuilla $x$.

Etäisyysfunktion derivaattafunktio on $$ d'(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} (e^x - 1). $$ Sillä on tasan yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $d$ saa siinä pienimmän arvonsa. Siis käyrän $y = e^x$ suoraa $y = x$ lähinnä oleva piste on $(0,e^0) = (0,1)$.

Käyrälle $y = e^x$ pisteeseen $(0,1)$ asetetun tangentin kulmakerroin on $e^0 = 1$, joten normaalin kulmakerroin on $-1$. Normaalin yhtälö on siten $$ y = -x + 1. $$ Normaalin ja suoran $y = x$ leikkauspiste on $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Tämä on etsitty piste.

Olkoon sivuamispisteen $x$-koordinaatti $a$. Sivuamispiste on silloin $(a, k^a)$ ja tangentin kulmakerroin on $$ f'(a) = k^a\ln(k). $$ Koska tangentti kulkee origon kautta, sen yhtälö on $$ y = k^a\ln(k)x. $$ Sivuamispisteen koordinaatit toteuttavat tangentin yhtälön, joten saadaan yhtälö $$ k^a = k^a\ln(k)a. $$ Siitä saadaan ratkaistua $$ a = \frac{1}{\ln(k)}. $$ Sivuamispisteen $y$-koordinaatti on siten $$ k^a = e^{\ln(k)a} = e^{\ln(k)\frac{1}{\ln(k)}} = e^1 = e. $$

Marin vastaus on oikein.
Elmerin ratkaisussa yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan \begin{align*} h'(x) &= g'(f(x))\cdot f'(x) \\ &= 4e^x\cdot e^x \\ &= 4(e^x)^2 = 4e^{2x}. \end{align*} Uolevin ratkaisussa yhdistetty funktio on \begin{align*} h(x) &= g(f(x)) \\ &= 2(e^x)^2 + 1 = 2e^{2x} + 1. \end{align*} Sen derivaatta on $$ h'(x) = 2e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}. $$

1. $t \geq \dfrac{\ln (20)}{0{,}6} \approx 5$ minuuttia.
2. Noin 0,2 astetta minuutissa.

1. Kaaren korkeus on noin 192 metriä.
2. Kaaren leveys on noin 192 metriä.
3. Kulma on noin $80^\circ$.

1. Derivaattafunktion $$ f'(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} $$ arvo on positiivinen kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, joten funktio $f$ on aidosti kasvava koko lukusuoralla.
2. Supistetaan lausekkeella $e^x$: \begin{align*} f(x) &= \frac{e^x}{1 + e^x} \\[2mm] &= \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1} \\[2mm] &\xrightarrow[x \rightarrow \infty]{} \frac{1}{0+1} = 1 \end{align*}
3. Koska $$f(10) = 0{,}99995\ldots > 0{,}999$$ ja funktio $f$ on aidosti kasvava, niin epäyhtälö pätee.

Janan pituutta kuvaa funktio $$ f(x) = 2e^{-x} - x^2e^{-x}. $$ Sen suurin arvo on \begin{align*} f\left(1-\sqrt{3}\right) &= 2e^{\sqrt{3}-1}\left(\sqrt{3} - 1\right) \\ &\approx 3{,}04. \end{align*}

Funktion pienin arvo on $$f(0) = -5$$ ja suurin arvo on $$f(4) = \dfrac{7}{e^4}.$$

1. 11 vuorokauden kuluttua: $$ t > \frac{\ln (4999)}{0{,}8} \approx 10{,}6. $$
2. Derivaattafunktio $$ f'(t) = \frac{19996000e^{-0{,}8t}}{(1 + 4999e^{-0{,}8t})^2} > 0, $$ joten funktio $f$ on aidosti kasvava.
3. $$ \lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \frac{5000}{1 + 0} = 5000. $$

Yhtälön ratkaisujen määrä on sama kuin erotusfunktion $$f(x) = e^{x+a} −x$$ nollakohtien määrä. Funktion derivaatalla $$f'(x) = e^{x+a} − 1$$ on yksi nollakohta $x = −a$. Kun $x < −a$, on $f$ aidosti vähenevä ja kun $x > −a$ on $f$ aidosti kasvava. Funktion $f$ pienin arvo on $f(−a) = 1+a$. Tämän perusteella saadaan pääteltyä, että yhtälöllä

• ei ole ratkaisuja, jos $f(−a) > 0$ eli $a > −1$
• on yksi ratkaisu, jos $f(-a) = 0$ eli $a = -1$
• on kaksi ratkaisua, jos $f(-a) < 0$ eli $a < -1$.

Funktio $f$ on kaikkialla jatkuva. Tarkastellaan erikseen tilanteet, joissa itseisarvojen sisällä oleva lauseke on positiivinen tai negatiivinen.

• Jos $x > 1$, niin $$ f(x) = e^x - a(x-1) $$ ja derivaattafunktio on $$ f'(x) = e^x - a. $$ Derivaattafunktio on siis positiivinen tai nolla, jos ja vain jos $e^x \geq a$. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, tämä epäyhtälö toteutuu tarkasteltavalla välillä $\pa 1, \infty\pe$, jos ja vain jos $e^1 \geq a$ eli $a \leq e$.
• Jos $x < 1$, niin $$ f(x) = e^x - a(1-x) $$ ja derivaattafunktio on $$ f'(x) = e^x + a. $$ Derivaattafunktio on siis positiivinen tai nolla, jos ja vain jos $e^x \geq -a$. Koska eksponenttifunktion arvot ovat positiivisia mutta lähenevät nollaa muuttujan arvon pienentyessä rajatta, tämä epäyhtälö toteutuu tarkasteltavalla välillä $\pa -\infty, 1\pe$, jos ja vain jos $-a \leq 0$ eli $a \geq 0$.

Jos siis $0 \leq a \leq e$, on jatkuva funktio $f$ kasvava sekä välillä $\pa -\infty, 1\pe$ että välillä $\pa 1, \infty\pe$, jolloin se on kasvava kaikkialla.

1. Logaritmin laskusääntöjen ja määritelmän avulla saadaan \begin{align*} e^{2\ln x} - 2x^2 &= e^{\ln(x^2)} - 2x^2 \\ &= x^2 - 2x^2 = -x^2 \end{align*}
2. $f'(x) = 8e^{2x}$, joten $f'(0) = 8$.

1. Yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $x = 0$ tai $x = 3$.
2. $a = 2$ ja $b = -3$.

Epäyhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa muodossa $e^{x\ln x} - e^{x-1}$. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava, on $$e^{x\ln x} - e^{x-1} \geq 0,$$ jos ja vain jos $$x\ln x \geq x - 1.$$ Tutkitaan erotusfunktiota $$ g(x) = x\ln x - x + 1. $$ Sen derivaattafunktioksi saadaan $$ g'(x) = \ln x. $$ Oletuksen mukaan $x \geq 1$. Jos $x > 1$, niin $g'(x) = \ln x > 0$. Lisäksi $g'(1) = 0$, joten funktio $g$ on aidosti kasvava välillä $[1, \infty\pe$. Pienimmän arvonsa se saa välin vasemmassa päätepisteessä: $$ g(1) = 0. $$ Tästä voidaan päätellä, että $g(x) \geq 0$ eli $$x\ln x \geq x - 1$$ kaikilla $x \geq 1$. Lisäksi yhtäsuuruus pätee, jos ja vain jos $x = 1$.

1. $f'(x) = 2e^{2x-2} + 3x^2$
2. Koska $f'(1) = 5$, saadaan pisteeseen $(1,1)$ piirretyn tangentin yhtälöksi $y = 5x-4$.
3. Tangentti leikkaa akseleita pisteissä $(0,-4)$ ja $\left(\frac{4}{5},0\right)$. Niiden välisen janan pituus on $\frac{4}{5}\sqrt{26}$.

Derivaatta on $$ f'(x) = Ae^x - 2Be^{-x}. $$ Ehdoista saadaan yhtälöpari $A + 2B = 1$ ja $A - 2B = 2$. Sen ratkaisu on $A = \frac{3}{2}$ ja $B = -\frac{1}{4}$.

Kokeilemalla huomataan, että funktio on muotoa $$ f(x) = x + \frac{1}{2}e^{-2x} + C, $$ missä $C$ on mikä tahansa reaalilukuvakio. (Tällöin $f'(x) = k(x)$ kuten pitääkin.)

Derivaattafunktiolla $k$ on yksi nollakohta $x = 0$. Kulkukaaviosta nähdään, että funktio $f$ saa siinä pienimmän arvonsa. Yhtälöstä $f(0) = 2$ saadaan ratkaistua $C = 1{,}5$. Siis $$ f(x) = x + \frac{1}{2}e^{-2x} + \frac{3}{2}. $$

Derivaattafunktion $f'(x) = -e^{-x}$ arvot ovat aina negatiivisia, joten $f$ on aidosti vähenevä. Funktion suurin arvo välillä $[1,2]$ on siten $f(1) = e^{-1} + 1 < 2$ ja pienin arvo $f(2) = e^{-2} + 1 > 1$. Siis $1 < f(x) < 2$ kaikilla $x \in [1,2]$.

Toisen derivaatan $f''(x) = e^{-x}$ arvot ovat aina positiivisia, joten derivaattafunktio $f'$ on aidosti kasvava. Derivaattafunktion arvot ovat aina negatiivisia, joten se saa itseisarvoltaan suurimman arvon välillä $[1,2]$ kohdassa $x = 1$: $$\left|f'(1)\right| = \left|-e^{-1}\right| < 0{,}4.$$

Etsitty ratkaisu on $x \approx 1{,}278$.

1. $2(x^2 + x + 1)e^{2x}$
2. $f'(x) = -2^{-x}\ln(2)$, joten $f'(1) = -\dfrac{1}{2}\ln(2)$.