Tason piste ilmoitetaan lukuparina $(x,y)$. Ensimmäinen luku $x$ kertoo, missä piste sijaitsee $x$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Toinen luku $y$ kertoo vastaavasti, missä piste sijaitsee $y$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Näitä lukuja kutsutaan pisteen koordinaateiksi.

Esimerkiksi alla olevan kuvan pisteeseen $R$ päästään siirtymällä origosta neljä yksikköä $x$-akselin positiiviseen suuntaan ja kaksi yksikköä $y$-akselin positiiviseen suuntaan. Pistettä $R$ merkitään siis $R=(4,2)$. Pistettä $P$ merkitään puolestaan $P=(-3,1)$.

Koordinaattiakselit jakavat tason neljään osaan. Osat nimetään yleensä järjestysnumeroilla I, II, III ja IV kuten alla olevassa kuvassa. Koordinaattiakselien leikkauspistettä kutsutaan origoksi ja merkitään yleensä kirjaimella $O$.

Alla olevassa kuvassa näkyvät vektorit $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$. Ne ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja yhden yksikön pituisia.

Muut vektorit voidaan esittää vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa vektori $\bar{u}$ on esitetty vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla.

Kuvasta nähdään, että vektorin $\bar{u}$ alkupisteestä päästään sen loppupisteeseen siirtymällä kaksi yksikköä $x$-akselin negatiiviseen suuntaan ja neljä yksikköä $y$-akselin positiiviseen suuntaan. Vektori $\bar{u}$ voidaan siis ilmoittaa vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla muodossa $\bar{u} = -2\bar{\imath} + 4\bar{\jmath}$.

Koordinaatistossa olevia nuolia kutsutaan siis vektoreiksi. Vektorit $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ ovat erityisiä, sillä ne ovat koordinaattiakselien suuntaisia ja yhden yksikön pituisia. Niiden avulla voidaan ilmaista kaikki $xy$-koordinaatiston vektorit.

Kuten edellisessä tehtävässä huomataan, vektoreiden samuus tarkoittaa siis sitä, että ne ovat saman pituisia ja osoittavat samaan suuntaan — niiden paikalla koordinaatistossa ei ole merkitystä.

Esimerkiksi alla olevassa kuvassa oleva vektori $\bar{v}=4\bar{\imath} + 3\bar{\jmath}$ on siis pisteen $(4,3)$ paikkavektori.

Nollavektori $\bar{0}$ on siis vektori, jonka alkupiste ja loppupiste ovat samat. Nollavektori on origon eli pisteen $(0,0)$ paikkavektori.

Tarkastellaan vielä alla olevaa kuvaa. Siinä piste $P$ jakaa janan $AB$ suhteessa $1:3$. Tämä nähdään siitä, että janan $AP$ pituus on 2 ja janan $PB$ pituus on 6. Näiden pituuksien suhde on $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$ Koko jana $AB$ muodostuu siis neljästä yhtä pitkästä osasta. Jana $AP$ on yhden osan pituinen ja jana $PB$ on kolmen osan pituinen.

Edellä opittiin ilmaisemaan $xy$-koordinaatiston vektoreita vektoreiden $\bar{\imath}$ ja $\bar{\jmath}$ avulla. Esimerkiksi alla olevan kuvan vektori $\bar{v}$ on vektoreiden $2\bar{\imath}$ ja $4\bar{\jmath}$ summa eli $\bar{v} = 2\bar{\imath} + 4\bar{\jmath}$.

Yhteenlaskettavia $2\bar{\imath}$ ja $4\bar{\jmath}$ sanotaan vektorin $\bar{v}$ komponenteiksi. Esimerkiksi vektorin $\bar{u}=-7\bar{\imath}-3\bar{\jmath}$ komponentit ovat vektorit $-7\bar{\imath}$ ja $-3\bar{\jmath}$. Myöhemmin opitaan jakamaan $xy$-tason vektoreita myös muihin kuin koordinaattiakselien suuntaisiin komponentteihin.

Seuraavaksi sovitaan, miten lasketaan minkä tahansa vektoreiden summa. Se tehdään laskemalla vektorit komponenteittain yhteen.

Esimerkiksi alla olevan kuvan vektoreiden $\bar{v}=\bar{\imath}+\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}$ ja $\bar{w} = \textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}$ summa saadaan laskemalla yhteen $x$-akselin suuntaiset komponentit: $$ \bar{\imath} + \textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath} = \textcolor{darkgreen}{5}\bar{\imath} $$ sekä $y$-akselin suuntaiset komponentit: $$ \textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}+(\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath})=\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}=\textcolor{blue}{-}\bar{\jmath}. $$ Vektoreiden $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ summaksi saadaan siis \begin{align*} \bar{v} + \bar{w} &=(\bar{\imath}+\textcolor{blue}{2}\bar{\jmath}) + (\textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-3}\bar{\jmath}) \\ &= (\textcolor{darkgreen}{1+4})\bar{\imath} + (\textcolor{blue}{2+(-3)})\bar{\jmath} \\ &= \textcolor{darkgreen}{5}\bar{\imath} \textcolor{blue}{-} \bar{\jmath}. \end{align*}

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Siinä vektorit $\bar{a}=3\bar{\imath}+5\bar{\jmath}$ ja $\bar{b}=4\bar{\imath}-2\bar{\jmath}$ on piirretty peräkkäin niin, että vektori $\bar{b}$ alkaa vektorin $\bar{a}$ loppupisteestä. Vektoreiden $\bar{a}$ ja $\bar{b}$ summa on komponenteittain laskettuna \begin{align*} \bar{a}+\bar{b} &= (\textcolor{darkgreen}{3}\bar{\imath}+\textcolor{blue}{5}\bar{\jmath})+(\textcolor{darkgreen}{4}\bar{\imath}\textcolor{blue}{-2}\bar{\jmath}) \\ &= (\textcolor{darkgreen}{3+4})\bar{\imath}+(\textcolor{blue}{5+(-2)})\bar{\jmath} \\ &= \textcolor{darkgreen}{7}\bar{\imath}+\textcolor{blue}{3}\bar{\jmath}. \end{align*} Saatu summavektori alkaa vektorin $\bar{a}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{b}$ loppupisteeseen. Tämä ilmiö on seuraus yhteenlaskun suorittamisesta komponenteittain.

Summavektorin $\bar{a}+\bar{b}$ voi määrittää piirtämällä samaan tapaan kuin yllä olevassa kuvassa: piirretään vektori $\bar{a}$ ja piirretään sen perään vektori $\bar{b}$ niin, että se alkaa vektorin $\bar{a}$ loppupisteestä. Summavektori $\bar{a}+\bar{b}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{a}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{b}$ loppupisteeseen.

Edellisen tehtävän tulos on yksi osoitus siitä, että vektoreiden yhteenlaskun järjestyksellä ei ole merkitystä lopputuloksen kannalta. Vektoreiden yhteenlasku on siis vaihdannainen operaatio. Tämä näkyy myös alla olevassa kuvassa: vektori $4\vj+2\vi$ on sama kuin vektori $2\vi+4\vj$.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Vektori $\va$ voidaan ilmaista vektorin $\vj$ avulla muodossa $5\vj$. Vektori $\va$ saadaan siis kertomalla vektoria $\vj$ luvulla $5$. Sanotaan, että vektori $\va$ on vektorin $\vj$ skalaarimonikerta.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Kerrotaan vektori $\vv=-4\vi+3\vj$ luvulla $2$. Se tehdään kertomalla vektorin molemmat komponentit kahdella. Koska $2\cdot (-4\vi)=-8\vi$ ja $2\cdot 3\vj=6\vj$, niin tulokseksi saadaan $2\vv=-8\vi + 6 \vj$.

Alla on näkyvissä eräs vektori $\vv$ ja sen vastavektori $-\vv$.

Palautetaan mieleen, että summan $\bar{v}+\bar{w}$ voi määrittää piirtämällä seuraavasti: piirretään vektori $\bar{v}$ ja piirretään sen perään vektori $\bar{w}$ alkamaan vektorin $\bar{v}$ loppupisteestä. Summa $\bar{v}+\bar{w}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{v}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $\bar{w}$ loppupisteeseen. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Erotuksen $\bar{v}-\bar{w}$ voi määrittää piirtämällä samaan tapaan vektoreiden $\vv$ ja $-\vw$ avulla. Piirretään vektori $\bar{v}$ ja piirretään sen perään vastavektori $-\bar{w}$ alkamaan vektorin $\bar{v}$ loppupisteestä. Erotus $\bar{v}-\bar{w}$ on vektori, joka alkaa vektorin $\bar{v}$ alkupisteestä ja päättyy vektorin $-\bar{w}$ loppupisteeseen.

Vektoreiden erotus lasketaan samaan tapaan komponenteittain kuin summakin. Esimerkiksi yllä olevan kuvan vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ erotus on \begin{align*} \vv-\vw &=2\vi+2\vj-(2\vi - 3\vj) \\ &=2\vi+2\vj-2\vi + 3\vj \\ &=0\vi + 5\vj \\ &=5\vj. \end{align*}

Edellä tutustuttiin paikkavektorin käsitteeseen: pisteen $P$ paikkavektori $\pv{OP}$ tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on origo $O$ ja loppupiste on piste $P$. Myös muita vektoreita voidaan merkitä samaan tapaan alkupisteen ja loppupisteen avulla. Merkintä $\pv{AB}$ tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on $A$ ja loppupiste on $B$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa $\pv{AB} = 4\vi + 2\vj$ ja $\pv{RS} = \vi - 3\vj$. Lisäksi havaitaan, että vektori $\pv{CD}$ on sama kuin vektori $\pv{AB}$ eli $\pv{CD} = \pv{AB}$, sillä ne voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla.

Kuten edellisessä tehtävässä huomataan, vektori $\pv{AB}$ saadaan muodostettua paikkavektoreiden $\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$ avulla. Tätä varten täytyy etsiä reitti vektorin $\pv{AB}$ alkupisteestä sen loppupisteeseen. Alkupisteestä $A$ päästään origoon paikkavektorin vastavektorilla $-\pv{OA}$. Origosta päästään pisteeseen $B$ paikkavektorilla $\pv{OB}$. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Vektori $\pv{AB}$ saadaan siis laskemalla yhteen vektorit $-\pv{OA}$ ja $\pv{OB}$. Toisin sanottuna $$\pv{AB} = -\pv{OA}+\pv{OB}$$ eli $$\pv{AB} = \pv{OB}-\pv{OA}.$$ Yllä olevan kuvan tilanteessa $$ \begin{align*} \pv{AB} &= (3\vi + 3\vj)-(-3\vi + \vj)\\ &=6\vi + 2\vj. \end{align*} $$

Tiedetään, että pisteen paikkavektoreissa vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimet ovat samat kuin pisteen koordinaatit. Tämän vuoksi kahden pisteen välisessä vektorissa vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ kertoimiksi saadaan vektorin loppupisteen ja alkupisteen koordinaattien erotus. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Tutkitaan seuraavaksi vektoreiden suuntia. Alla olevan kuvan vektorit $\va$ ja $\vv$ ovat samansuuntaiset. Myös esimerkiksi vektorit $-\va$ ja $\vu$ ovat samansuuntaiset. Tämä voidaan merkitä kirjoittamalla $\va \upuparrows \vv$ ja $-\va \upuparrows \vu$.

Vektorit $-3\va$ ja $\vw$ ovat puolestaan vastakkaissuuntaiset. Tämä voidaan merkitä kirjoittamalla $-3\va \uparrow\downarrow \vw$.

Vektorit, jotka ovat joko saman- tai vastakkaisuuntaiset, ovat yhdensuuntaiset. Kaikki alla olevan kuvan vektorit ovat yhdensuuntaisia. Esimerkiksi vektorit $\va$ ja $-3\va$ ovat yhdensuuntaiset, mikä voidaan merkitä kirjoittamalla $\va \parallel -3\va$.

Esimerkiksi vektorit $\va=4\vi+6\vj$ ja $\vb=-2\vi-3\vj$ ovat yhdensuuntaiset, sillä \begin{align*} \va &=4\vi+6\vj \\ &=-2(-2\vi-3\vj) \\ &=-2\vb. \end{align*} Yllä vektoreiden yhdensuuntaisuus osoitettiin muokkaamalla vektoria $\va$ niin, että se saatiin ilmoitettua vektorin $\vb$ skalaarimonikertana eli muodossa $t\vb$, missä $t \in \R$. Toinen tapa tutkia vektoreiden yhdensuuntaisuutta on muodostaa yhtälö $\va=t\vb$ ja tutkia, toteutuuko tämä yhtälö jollakin luvulla $t \neq 0$. Jos ratkaisu löytyy, vektorit ovat yhdensuuntaiset. Esimerkiksi edellisessä tilanteessa ratkaisu on $t = -2$. Jos ratkaisua ei löydy, niin vektorit eivät ole yhdensuuntaiset.

Vektorin pituus saadaan laskettua Pythagoraan lauseen avulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa vektorin $\va$ pituus $\left|\va\right|$ saadaan yhtälöstä $$ \left|\va\right|^2 = 2^2 + 3^2. $$ Vektorin $\va$ pituudeksi saadaan siis $$ \left|\va\right| = \sqrt{2^2 + 3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} \approx 3{,}6. $$

Koska toiseen potenssiin korotus tekee kaikista luvuista epänegatiivisia, voidaan vektorin pituus määritellä seuraavasti:

Huomaa, että merkintä $|\vv|$ tarkoittaa vektorin $\vv$ pituutta, kun taas merkintä $|x|$ tarkoittaa luvun $x$ itseisarvoa.

Tarkastellaan alla olevan kuvan vektoreiden $\va=2\vi+\vj$ ja $-4\va=-8\vi-4\vj$ pituuksia. Huomataan, että vektorin $\va$ pituus on $$ \begin{align*} |\va|&=\sqrt{2^2+1^2} \\ &= \sqrt{4+1} \\ &=\sqrt{5} \end{align*} $$ ja vektorin $-4\va$ pituus on $$ \begin{align*} |-4\va|&=\sqrt{(-8)^2+(-4)^2} \\ &= \sqrt{64+16} \\ &=\sqrt{80} \\ &= \sqrt{16\cdot 5} \\ &=\sqrt{16} \cdot \sqrt{5} \\ &=4\sqrt{5} \\ &=4\cdot |\va|\\ &=|-4|\cdot |\va|. \end{align*} $$

Voidaan näyttää, että tämä pätee kaikille vektoreille: Vektorin $t\vv$ pituus $|t\vv|$ saadaan kertomalla vektorin $\vv$ pituutta luvun $t$ itseisarvolla. Tämä teoreema perustellaan myöhemmin $xyz$-koordinaatistoa käsittelevässä luvussa.

Tehtävän 25 mukaan vektorit $\vi$ ja $\vj$ ovat yksikkövektoreita, sillä niiden pituus on $1$. Niiden lisäksi on paljon muitakin yksikkövektoreita. Perehdytään seuraavaksi siihen, miten voidaan määrittää annetun vektorin suuntainen yksikkövektori.

Tarkastellaan alla olevan kuvan vektoria $\vv = 8\vi + 6\vj$. Sen pituudeksi saadaan $$ \begin{align*} |\vv| &= \sqrt{8^2+6^2} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10. \end{align*} $$ Vektorin $\vv$ kanssa samansuuntainen yksikkövektori saadaan ottamalla siitä kymmenesosa, eli $$ \begin{align*} \frac{1}{10}\vv &= \frac{1}{10}(8\vi + 6\vj) \\ &= 0{,}8\vi + 0{,}6\vj \end{align*} $$

Edellä opittiin ilmaisemaan $xy$-tason vektoreita vektoreiden $\vi$ ja $\vj$ avulla. Esimerkiksi alla olevan kuvan vektori $\va$ voidaan kirjoittaa muodossa $\va = 6\vi + 3\vj$. Yhteenlaskettavia $6\vi$ ja $3\vj$ kutsutaan vektorin $\va$ komponenteiksi.

Vektori $\va$ voidaan jakaa komponentteihin muillakin tavoilla. Alla olevasta kuvasta nähdään, että vektori $\va$ voidaan kirjoittaa myös muodossa $\va = 5\vv + 4\vw$, missä $\vv = 2\vi-\vj$ ja $\vw = -\vi+2\vj$. Sanotaan, että $5\vv$ ja $4\vw$ ovat vektorin $\va$ vektorien $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit.

Vektoreiden pistetulosta saadaan siis tuloksena aina reaaliluku. Esimerkiksi vektoreiden $\vv=-2\vi+4\vj$ ja $\vw=3\vi-\vj$ pistetulo on \begin{align*} \vv \cdot \vw &= (-2\vi+4\vj) \cdot (3\vi-\vj) \\ &= (-2) \cdot 3 + 4\cdot (-1) \\ &= -6-4 \\ &=-10. \end{align*} Reaalilukuja voidaan kutsua skalaareiksi, minkä vuoksi pistetuloa kutsutaan joskus skalaarituloksi.

Pistetulolla voidaan laskea tavallisten laskusääntöjen mukaan. Näitä on koottu alla olevaan teoreemaan.

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

Tutkitaan seuraavaksi vektoreiden välisen kulman ja pistetulon yhteyttä. Vektoreiden välistä kulmaa voidaan tarkastella, jos vektoreiden alkupisteet ovat samat. Vektoreiden välisellä kulmalla tarkoitetaan muodostuvista kulmista pienempää. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ väliselle kulmalle käytetään merkintää $\sphericalangle(\vv,\vw)$ kuten yllä olevassa kuvassa. Joskus käytetään myös lyhyttä merkintää $(\vv,\vw)$.

Geometria-kurssista tutun kosinilauseen ja pistetulon ominaisuuksien avulla saadaan perusteltua seuraava teoreema, joka yhdistää pistetulon ja vektoreiden välisen kulman. Teoreema perustellaan myöhemmin $xyz$-koordinaatistoa käsittelevässä luvussa.

Pistetulon avulla voidaan tarkistaa, ovatko vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Edellisessä luvussa tutustuimme $xy$-koordinaatistoon, jonka avulla voidaan kuvata tason pisteitä ja vektoreita. Kolmiulotteisen avaruuden pisteitä ja vektoreita voidaan kuvata niin sanotun $xyz$-koordinaatiston avulla. Tämä koordinaatisto saadaan $xy$-koordinaatistosta lisäämällä siihen yksi akseli, joka on kohtisuorassa sekä $x$-akselia että $y$-akselia vastaan. Kolmatta akselia sanotaan $z$-akseliksi.

Yllä olevassa kuvassa $z$-akseli suuntautuu kohti katsojaa. Kolmiulotteista koordinaatistoa voidaan katsoa muistakin suunnista, jolloin esimerkiksi $x$-akseli saattaa suuntautua kohti katsojaa, kuten alla olevassa kuvassa. Koordinaattiakselien keskinäiset suunnat pysyvät kuitenkin samoina. Niitä voidaan havainnollistaa oikean käden sormien avulla: peukalo vastaa $x$-akselia, etusormi $y$-akselia ja keskisormi $z$-akselia.

Kolmiulotteisen avaruuden piste $P$ ilmaistaan lukukolmikkona $(x,y,z)$, missä ensimmäiset kaksi lukua ilmoittavat pisteen paikan $x$- ja $y$-akseleiden suhteen ja kolmas koordinaatti kertoo, missä piste sijaitsee $z$-akselin suunnassa origoon verrattuna. Alla olevassa kuvassa on havainnollistettu $xyz$-koordinaatiston pisteitä $S=(1,0,4)$ ja $R = (3,2,2)$.

Yllä olevasta kuvasta nähdään myös, miten $xyz$-koordinaatisto yleensä piirretään. Katsojaa kohti tuleva akseli piirretään 135 asteen kulmassa oikealle suuntautuvaan akseliin nähden. Lisäksi katsojaa kohti tulevan akselin yksikön pituudeksi valitaan noin puolet muiden akseleiden yksikön pituudesta, jotta vaikutelmasta tulee kolmiulotteinen.

Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa $x$- ja $y$-akseleiden yksiköksi on valittu kolme ruutua ja $z$-akselin yksikön pituudeksi yhden ruudun lävistäjä eli $\sqrt{2}\approx 1{,}4$ ruutua.

Kolmiulotteisessa koordinaatistossa kaikki vektorit voidaan esittää koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektoreiden avulla samaan tapaan kuin $xy$-tasossa. Erona on, että koordinaattiakselien suuntaisia yksikkövektoreita on nyt kolme: $\vi$, $\vj$ ja $\vk$. Niitä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Pisteen $P = (x,y,z)$ paikkavektori määritellään kolmiulotteisessa koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-tasossa: pisteen $P = (x,y,z)$ paikkavektori tarkoittaa vektoria, jonka alkupiste on origo ja loppupiste on $P$.

Kolmiulotteisessa koordinaatistossa nollavektori tarkoittaa vektoria $\bar{0} = 0\vi + 0\vj + 0\vk$. Se on origon eli pisteen $O = (0,0,0)$ paikkavektori.

Vektoreiden summa ja erotus lasketaan $xyz$-koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa eli komponenteittain. Esimerkiksi vektoreiden $\vv = \textcolor{blue}{2}\vi \textcolor{red}{-5}\vj + \textcolor{magenta}{3}\vk$ ja $\vw = \textcolor{blue}{-7}\vi + \textcolor{red}{9}\vj + \textcolor{magenta}{8}\vk$ summa on $$ \begin{align*} \vv + \vw &= (\textcolor{blue}{2-7})\vi + (\textcolor{red}{-5}+\textcolor{red}{9})\vj + (\textcolor{magenta}{3}+\textcolor{magenta}{8})\vk \\ &= \textcolor{blue}{-5}\vi + \textcolor{red}{4}\vj + \textcolor{magenta}{11}\vk \end{align*} $$ ja erotus on $$ \begin{align*} \vv - \vw &= (\textcolor{blue}{2}-(\textcolor{blue}{-7}))\vi + (\textcolor{red}{-5}-\textcolor{red}{9})\vj + (\textcolor{magenta}{3}-\textcolor{magenta}{8})\vk \\ &= \textcolor{blue}{9}\vi \textcolor{red}{- 14}\vj \textcolor{magenta}{- 5}\vk. \end{align*} $$

Summan ja erotuksen määrittäminen piirtämällä on $xyz$-koordinaatistossa hankalampaa kuin $xy$-koordinaatistossa, koska tarkkojen kolmiulotteisten kuvien piirtäminen on usein vaikeaa. Summaa ja erotusta voidaan kuitenkin havainnollistaa mallikuvilla. Summavektori saadaan muodotettua laittamalla yhteenlaskettavat vektorit peräkkäin ja piirtämällä vektori ensimmäisen yhteenlaskettavan alkupisteestä viimeisen yhteenlaskettavan loppupisteeseen. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Erotusvektori $\vv - \vw$ saadaan muodostettua laittamalla peräkkäin vektorit $\vv$ ja $-\vw$ kuten alla olevassa kuvassa.

Jos vektorit $\vv$ ja $\vw$ alkavat samasta pisteestä kuten alla olevassa kuvassa, löydetään erotusvektori $\vv - \vw$ etsimällä reitti, jossa kuljetaan ensin vektori $\vw$ vastakkaiseen suuntaan ja sen jälkeen vektori $\vv$. Tämä reitti vastaa summaa $-\vw + \vv$, joka on sama kuin $\vv-\vw$.

Tätä ideaa voidaan hyödyntää kahden pisteen välisen vektorin määrittämisessä samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa. Alla olevasta kuvasta voidaan päätellä, että vektori $\pv{AB}$ saadaan vähentämällä loppupisteen paikkavektorista $\pv{OB}$ alkupisteen paikkavektori $\pv{OA}$ eli $\pv{AB} = \pv{OB} - \pv{OA}$.

Myös vektorin kertominen reaaliluvulla tapahtuu $xyz$-koordinaatistossa samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatistossa eli komponenteittain. Esimerkiksi vektorin $\vv = 2\vi - 5\vj + 3\vk$ skalaarimonikerta $-15\vv$ saadaan kertomalla kaikki komponentit luvulla $-15$. Siten $$ \begin{align*} -15\vv &= -15\cdot 2\vi + (-15) \cdot (-5)\vj + (-15)\cdot 3\vk \\ &= -30\vi + 75\vj - 45\vk. \end{align*} $$

Alla olevassa kuvassa piste $P$ jakaa janan $AB$ suhteessa $1:3$. Jana $AB$ muodostuu siis neljästä yhtä pitkästä osasta. Jana $AP$ on yhden osan mittainen ja jana $PB$ on kolmen osan mittainen. Tätä tietoa voidaan hyödyntää esimerkiksi pisteen $P$ paikkavektorin määrittämisessä. Sitä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Vektorin pituus saadaan $xyz$-koordinaatistossa laskettua Pythagoraan lauseen avulla, mutta sitä täytyy soveltaa useamman kerran. Alla olevan kuvan vektorin $\vv$ pituus voidaan selvittää laskemalla ensin kuvassa näkyvän suorakulmaisen särmiön pohjan lävistäjän $c$ pituus. Se saadaan Pythagoraan lauseen mukaisesta yhtälöstä $$a^2 + b^2 = c^2.$$ Tässä tapauksessa $c^2 = 2^2 + 3^2 = 13$, joten särmiön pohjan lävistäjän pituus on $c = \sqrt{13} \approx 3{,}6$.

Särmiön pohjan lävistäjän $c$ ja särmiön korkeuden $h$ avulla saadaan selville vektorin $\vv$ pituus, kun Pythagoraan lausetta sovelletaan alla olevassa kuvassa näkyvään suorakulmaiseen kolmioon. Pythagoraan lauseen mukaan $$|\vv|^2 = c^2 + h^2.$$ Edellä todettiin, että $c^2 = a^2 + b^2$, joten saadaan yhtälö $$|\vv|^2 = a^2 + b^2 + h^2.$$ Tässä tapauksessa $|\vv|^2 = 2^2 + 3^2 + 2^2 = 17$, joten $|\vv| = \sqrt{17} \approx 4{,}1$.

Koska toiseen potenssiin korotus tekee kaikista luvuista epänegatiivisia, voidaan vektorin pituus määritellä seuraavasti:

Palautetaan mieleen, että yksikkövektori tarkoittaa vektoria, jonka pituus on 1. Edellisen teoreeman avulla saadaan johdettua lauseke annetun vektorin suuntaiselle yksikkövektorille:

Vektoreiden yhdensuuntaisuus määritellään $xyz$-koordinaatistossa samalla tavalla kuin $xy$-tasossa:

Vektoreiden yhdensuuntaisuuden tutkiminen johtaa usein yhtälöpariin tai yhtälöryhmään. Esimerkiksi jos halutaan määrittää vakio $t$ niin, että vektorit $\vv = 0{,}5\vi + t\vj + \vk$ ja $\vw = -\vi + 1{,}5\vj-2\vk$ ovat yhdensuuntaisia, on tutkittava yhtälöä $$\vv = r\vw.$$ Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = r(-\vi + 1{,}5\vj-2\vk)$$ eli $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = -r\vi + 1{,}5r\vj-2r\vk.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} -r &= 0{,}5 \\ 1{,}5r &= t \\ -2r &= 1 \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan nyt tämä yhtälöryhmä eli etsitään kaikki sellaiset luvut $r$ ja $t$, joilla yhtälöryhmän kaikki yhtälöt toteutuvat.

Jos yhtälöryhmän ensimmäisen yhtälön molemmat puolet kerrotaan luvulla $-1$, saadaan yhtälö $$r = -0{,}5.$$ Se voidaan sijoittaa yhtälöryhmän toiseen yhtälöön, joka saadaan silloin kirjoitettua muodossa $$1{,}5\cdot (-0{,}5) = t.$$ Toisin sanottuna $$t = -0{,}75.$$ Tämä tarkoittaa, että yhtälöryhmän ainoa mahdollinen ratkaisu on $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$. Vielä on kuitenkin tarkistettava, että se todella on yhtälöryhmän ratkaisu. Tämä tehdään sijoittamalla nämä luvut alkuperäiseen yhtälöryhmään ja tarkistamalla, että kaikki yhtälöt toteutuvat: $$ \left\{\begin{aligned} -(-0{,}5) &= 0{,}5 \\ 1{,}5\cdot (-0{,}5) &= -0{,}75 \\ -2\cdot (-0{,}5) &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöryhmän $$ \left\{\begin{aligned} -r &= 0{,}5 \\ 1{,}5r &= t \\ -2r &= 1 \end{aligned}\right. $$ ratkaisu on $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$.

Yhtälö $$0{,}5\vi + t\vj + \vk = r(-\vi + 1{,}5\vj-2\vk)$$ siis toteutuu, jos ja vain jos $r = -0{,}5$ ja $t = -0{,}75$. Tästä voidaan päätellä, että vektorit $\vv = 0{,}5\vi + t\vj + \vk$ ja $\vw = -\vi + 1{,}5\vj-2\vk$ ovat yhdensuuntaisia, jos ja vain jos $t = -0{,}75$. Tällöin vektorit ovat vastakkaissuuntaisia, koska yhtälössä $\vv = r\vw$ esiintyvä kerroin $r$ on negatiivinen: $r = -0{,}5$.

Tutkitaan seuraavaksi yhtälöparia $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ Se voidaan ratkaista samaan tapaan kuin edellä tehtiin. Ratkaistaan ensin ylemmästä yhtälöstä toinen tuntematon, esimerkiksi $x$. Vähentämällä yhtälön $x + 2y = 5$ molemmilta puolilta $2y$ saadaan yhtälö $$x = 5-2y.$$ Se voidaan sijoittaa alempaan yhtälöön, joka saadaan silloin kirjoitettua muodossa $$2(5-2y) - 3y = 3.$$ Kerrotaan tämän yhtälön vasemmalla puolella sulut auki, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$10-4y - 3y = 3.$$ Sieventämällä yhtälön vasen puoli saadaan se muotoon $$10-7y = 3.$$ Vähentämällä yhtälön molemmilta puolilta 10 saadaan uusi yhtälö $$-7y = -7.$$ Jakamalla tämän yhtälön molemmat puolet luvulla $-7$ saadaan $$y = 1.$$ Koska aiempien laskujen mukaan $x = 5-2y$, saadaan $$x = 5-2\cdot 1 = 5-2 = 3.$$ Tämä tarkoittaa, että yhtälöparin ainoa mahdollinen ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$. Tarkistetaan vielä, että nämä luvut todella toteuttavat kummankin yhtälön: $$ \left\{\begin{aligned} 3+2\cdot 1 &= 3 + 2 = 5 \\ 2\cdot 3-3\cdot 1 &= 6-3 = 3. \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisu on $x = 3$ ja $y = 1$.

Edellä tarkastellun yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisua voidaan havainnollistaa seuraavasti: Ensimmäinen yhtälö $x + 2y = 5$ voidaan kirjoittaa muodossa $2y = 5-x$ ja edelleen muodossa $$y = \frac{5-x}{2}.$$ Sen toteuttavia lukupareja $(x,y)$ on vaikka kuinka paljon, sillä luvuksi $x$ voidaan valita mikä tahansa reaaliluku ja sen jälkeen vastaava $y$:n arvo saadaan yllä olevasta yhtälöstä. Esimerkiksi jos $x = 0$, saadaan $$y = \frac{5}{2} = 2{,}5.$$ Jos $x = 1$, saadaan $$y = \frac{4}{2} = 2.$$ Jos $x = 3$, saadaan $$y = \frac{2}{2} = 1.$$ Lukuparit $(0;2{,}5)$, $(1,2)$ ja $(3,1)$ ovat esimerkkejä yhtälön $x + 2y = 5$ ratkaisuista ja niitä voidaan havainnollistaa pisteinä koordinaatistossa:

Jos kerätään yhteen kaikki yhtälön $x + 2y = 5$ ratkaisut eli lukuparit, jotka ovat muotoa $$\left(x,\frac{5-x}{2}\right)$$ muodostavat ne koordinaatistoon suoran $$y = \frac{5}{2}-\frac{1}{2}x.$$

Toinen yhtälö $2x - 3y = 3$ voidaan kirjoittaa muodossa $-3y = 3-2x$ ja edelleen muodossa $$y = \frac{3-2x}{-3}.$$ Sen toteuttavia lukupareja $(x,y)$ on myös vaikka kuinka paljon, sillä luvuksi $x$ voidaan valita mikä tahansa reaaliluku ja sen jälkeen vastaava $y$:n arvo saadaan yllä olevasta yhtälöstä. Esimerkiksi jos $x = 0$, saadaan $$y = \frac{3}{-3} = -1.$$ Jos $x = 1{,}5$, saadaan $$y = \frac{0}{-3} = 0.$$ Jos $x = 3$, saadaan $$y = \frac{-3}{-3} = 1.$$ Lukuparit $(0,-1)$, $(1{,}5;0)$ ja $(3,1)$ ovat esimerkkejä yhtälön $2x - 3y = 3$ ratkaisuista ja niitä voidaan havainnollistaa pisteinä koordinaatistossa:

Jos kerätään yhteen kaikki yhtälön $2x - 3y = 3$ ratkaisut eli lukuparit, jotka ovat muotoa $$\left(x,\frac{3-2x}{-3}\right),$$ muodostavat ne koordinaatistoon suoran $$y = -1+\frac{2}{3}x.$$

Yhtälöparin $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ ratkaisut ovat täsmälleen ne lukuparit $(x,y)$, jotka toteuttavat sekä yhtälön $x+2y = 5$ että yhtälön $2x-3y = 3$. Toisin sanottuna tutkittavan yhtälöparin ratkaisut ovat näitä yhtälöitä vastaavien suorien leikkauspisteet:

Yllä olevasta kuvasta havaitaan, että yhtälöparilla $$ \left\{\begin{aligned} x+2y &= 5 \\ 2x-3y &= 3. \end{aligned}\right. $$ on tasan yksi ratkaisu, joka määritettiin jo aikaisemmin laskemalla: $x = 3$ ja $y = 1$.

Yhtälöparin ratkaisujen lukumäärää voidaan siis tutkia graafisesti. Esimerkiksi yhtälöpari $$ \left\{\begin{aligned} -2x+y &= -3 \\ 4x-2y &= 3 \end{aligned}\right. $$ voidaan kirjoittaa myös muodossa $$ \left\{\begin{aligned} y &= 2x-3 \\ -2y &= -4x+3 \end{aligned}\right. $$ ja edelleen muodossa $$ \left\{\begin{aligned} y &= 2x-3 \\ y &= 2x-\frac{3}{2}. \end{aligned}\right. $$ Näitä yhtälöitä vastaavat suorat ovat yhdensuuntaiset, kuten alla olevasta kuvasta nähdään:

Tarkasteltavalla yhtälöparilla ei siis ole yhtään ratkaisua. Samaan tulokseen päädytään myös laskennallisesti: Yhtälöparin ensimmäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa $y = 2x-3$. Jos se sijoitetaan toiseen yhtälöön, saadaan yhtälö $$4x-2(2x-3) = 3.$$ Sieventämällä yhtälön vasenta puolta saadaan $$4x-4x+6 = 3$$ eli $$6 = 3.$$ Tämä yhtälö ei toteudu millään tuntemattomien $x$ ja $y$ arvoilla, joten yhtälöparilla ei ole yhtään ratkaisua.

Edellä on tarkasteltu yhtälöpareja, jotka ovat muotoa $$ \left\{\begin{aligned} ax+by &= c \\ mx+ny &= k, \end{aligned}\right. $$ missä $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ ja $k$ ovat reaalilukuja. Tällaisia yhtälöpareja sanotaan ensimmäisen asteen yhtälöpareiksi. Edellä nähtiin, että tällaisella ensimmäisen asteen yhtälöparilla voi olla tasan yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua riippuen siitä, onko yhtälöparia vastaavilla suorilla leikkauspiste vai ei. Näiden vaihtoehtojen lisäksi on vielä kolmaskin mahdollisuus: yhtälöparin kumpikin yhtälö voi vastata samaa suoraa. Tällöin yhtälöparilla on äärettömän paljon ratkaisuja, koska kyseisen suoran jokainen piste on yksi ratkaisu.

Yhtälöryhmiä, joissa yhtälöitä ja tuntemattomia on useampia, voidaan ratkaista samaan tapaan kuin edellä ratkaistiin kahden tuntemattoman yhtälöpareja. Esimerkiksi yhtälöryhmää $$ \left\{\begin{aligned} x-3y-2z &= 0 \\ -x+2y-\phantom{2}z &= -5 \\ 3x+4y+\phantom{2}z &= 1 \end{aligned}\right. $$ ratkaistaessa voidaan ensin ratkaista ylimmästä yhtälöstä $x$: $$x = 3y+2z.$$ Se voidaan sijoittaa kahteen alempaan yhtälöön: $$ \left\{\begin{aligned} -(3y+2z)+2y-z &= -5 \\ 3(3y+2z)+4y+z &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kertomalla sulut auki yhtälöt saadaan muotoon $$ \left\{\begin{aligned} -3y-2z+2y-z &= -5 \\ 9y+6z+4y+z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Sievennetään vielä yhtälöiden vasemmat puolet, jolloin ne näyttävät tältä: $$ \left\{\begin{aligned} -y-3z &= -5 \\ 13y+7z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Koko yhtälöryhmä on siis tässä vaiheessa $$ \left\{\begin{aligned} x &= 3y+2z \\ -y-3z &= -5 \\ 13y+7z &= 1. \end{aligned}\right. $$ Ratkaistaan keskimmäisestä yhtälöstä $y$ muutaman välivaiheen kautta, jolloin saadaan $$y = 5-3z.$$ Tässä kannattaa itse miettiä kynän ja paperin kanssa, millaisia välivaiheita ratkaisussa oli. Sijoitetaan saatu $y$:n lauseke alimpaan yhtälöön: $$13(5-3z)+7z = 1.$$ Kertomalla sulut auki yhtälö saadaan muotoon $$65-39z+7z = 1.$$ Tästä saadaan ratkaistua $$-32z = -64$$ eli $$z = \frac{-64}{-32} = 2.$$ Koko yhtälöryhmä on tässä vaiheessa $$ \left\{\begin{aligned} x &= 3y+2z \\ y &= 5-3z \\ z &= 2. \end{aligned}\right. $$ Kun nyt $z$:n arvo tunnetaan, saadaan muut tuntemattomat ratkaistua sen avulla vaiheittain: $$ \left\{\begin{aligned} z &= 2 \\ y &= 5-3z \\ &= 5-3\cdot 2 \\ &= 5-6 \\ &= -1\\ x &= 3y+2z \\ &= 3\cdot(-1) + 2\cdot 2 \\ &= -3+4 \\ &= 1. \end{aligned}\right. $$ Nämä laskut osoittavat, että tarkastellulla yhtälöryhmällä on enintään yksi ratkaisu. Tarkistetaan vielä sijoittamalla, että kaikki yhtälöt todella toteutuvat, jos $x = 1$, $y = -1$ ja $z = 2$: $$ \left\{\begin{aligned} x-3y-2z &=1-3\cdot(-1)-2\cdot 2 \\ &= 1+3-4 \\ &= 4-4 \\ &=0 \\ -x+2y-\phantom{2}z &= -1 + 2\cdot(-1)-2 \\ &= -1-2-2 \\ &= -3-2 \\ &= -5 \\ 3x+4y+\phantom{2}z &= 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) + 2 \\ &= 3-4+2 \\ &= -1 + 2 \\ &= 1 \end{aligned}\right. $$ Kaikki yhtälöt toteutuvat, joten yhtälöryhmän ratkaisu on $x = 1$, $y = -1$ ja $z = 2$.

Edellä opeteltiin ratkaisemaan yhtälöryhmiä niin sanotun sijoitusmenetelmän avulla. Yhtälöryhmiä voidaan ratkaista muillakin menetelmillä. Edellisen tehtävän yhtälöryhmä on esimerkki lineaarisesta yhtälöryhmästä, jollaisia voidaan ratkaista myös niin sanotun Gaussin eliminointimenetelmän avulla. Yhden ratkaisutavan hallitseminen kuitenkin riittää tällä kurssilla.

Edellisessä luvussa jaettiin $xy$-tason vektoreita komponentteihin piirrosten avulla päättelemällä. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että vektori $\va = 6\vi + 3\vj$ voidaan kirjoittaa muodossa $\va = 5\vv + 4\vw$, missä $\vv = 2\vi-\vj$ ja $\vw = -\vi+2\vj$. Vektorit $5\vv$ ja $4\vw$ ovat siis vektorin $\va$ vektorien $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit.

Kolmiulotteisen avaruuden vektorin jakaminen komponentteihin ei yleensä onnistu piirroksen avulla, vaan siinä vaaditaan yhtälöryhmän ratkaisemista. Esimerkiksi jos vektori $\vv = 2\vi + 3\vk$ halutaan jakaa vektoreiden $\va = \vi-\vj$, $\vb = \vj + \vk$ ja $\vc = \vi + \vj + \vk$ suuntaisiin komponentteihin, on etsittävä kertoimet $x$, $y$ ja $z$, jotka toteuttavat yhtälön $$\vv = x\va + y\vb + z\vc.$$ Tämä yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa $$2\vi + 3\vk = x(\vi-\vj) + y(\vj + \vk) + z(\vi + \vj + \vk).$$ Kertomalla yhtälön oikealla puolella sulut auki yhtälö saadaan muotoon $$2\vi + 3\vk = x\vi-x\vj + y\vj + y\vk + z\vi + z\vj + z\vk.$$ Yhtälön oikeaa puolta voidaan vielä sieventää laskemalla yhteen vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ skalaarimonikerrat: $$2\vi + 3\vk = (x+z)\vi + (-x+y+z)\vj + (y+z)\vk.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} x+z &= 2 \\ -x+y+z &= 0 \\ y + z &= 3. \end{aligned}\right. $$ Vektorin $\vv$ vektoreiden $\va$, $\vb$ ja $\vc$ suuntaiset komponentit saadaan määritettyä ratkaisemalla yllä oleva yhtälöryhmä.

Kolmiulotteisen avaruuden vektoreiden pistetulolla on samat ominaisuudet kuin $xy$-koordinaatiston vektoreiden pistetulolla. Näistä tärkeimmät on koottu alla olevaan teoreemaan, jotka on perusteltu $xy$-koordinaatiston tapauksessa edellisessä luvussa.

Kolmiulotteisen koordinaatiston vektoreiden pistetulo määritellään samaan tapaan kuin $xy$-koordinaatiston vektoreiden pistetulo:

Kolmiulotteisen avaruuden vektoreiden pistetulolla on samat ominaisuudet kuin $xy$-koordinaatiston vektoreiden pistetulolla. Näistä tärkeimmät on koottu alla olevaan teoreemaan, jotka on perusteltu $xy$-koordinaatiston tapauksessa edellisessä luvussa.

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Sen pisteiden $A$ ja $B$ kautta on mahdollista piirtää ainoastaan yksi suora — pisteet $A$ ja $B$ määräävät suoran yksiselitteisesti.

Yksi piste ei riitä, sillä sen kautta voi kulkea äärettömän monta eri suoraa.

Suora voidaan määrittää vektoreiden avulla. Tällöin tarvitaan yhden suoran pisteen paikkavektori sekä yksi suoran suuntainen vektori. Tätä vektoria kutsutaan suoran suuntavektoriksi. Näitä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Edellisessä tehtävässä tarkasteltiin suoraa $L$, joka kulkee pisteen $A$ kautta ja jonka suuntavektori on $\vv = \pv{AB}.$ Tehtävässä havaittiin, että piste $P$ on suoralla $L$, jos ja vain jos on olemassa sellainen luku $t$, että $$\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv.$$

Suoran vektorimuotoinen parametriesitys kertoo, millaisia suoran pisteiden paikkavektorit ovat. Antamalla parametrille $t$ eri arvoja, saadaan suoran eri pisteiden paikkavektoreita.

Kahden suoran välistä kulmaa voidaan tutkia pistetulon avulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa suoran $L_1$ suuntavektoriksi voidaan valita vektori $\vv = -3\vi + 2\vj$ ja suoran $L_2$ suuntavektoriksi voidaan valita $\vw = 4\vi + 3\vj$.

Suuntavektoreiden $\vv$ ja $\vw$ välisen kulman kosini saadaan yhtälöstä $$ \begin{align*} \cos(\vv, \vw) &= \frac{\vv \cdot \vw}{|\vv||\vw|} \\ &= \frac{-3\cdot 4 + 2\cdot 3}{\sqrt{(-3)^2 + 2^2}\sqrt{4^2 + 3^2}} \\ &= \frac{-6}{\sqrt{13}\cdot 5} \\ &\approx -0{,}332820. \end{align*} $$ Tästä saadaan laskimella $\sphericalangle(\vv, \vw) = 109{,}44003\ldots \approx 109{,}4^\circ$. Koska tulos on yli $90^\circ$ eli kulma on tylppä, voidaan päätellä, että suorien $L_1$ ja $L_2$ välinen kulma on $\alpha = 180^\circ - \sphericalangle(\vv, \vw) \approx 180^\circ - 109{,}4^\circ = 70{,}6^\circ$.

Kaksi koordinaattiakselia määrää aina tason. Esimerkiksi $xy$-taso tarkoittaa $x$- ja $y$-akseleiden kautta kulkevaa tasoa, jossa kaikkien pisteiden $z$-koordinaatti on $0$. Suoran koordinaattimuotoisen parametriesityksen avulla voidaan löytää suoran ja tällaisen tason leikkauspiste. Tilannetta on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Alla olevassa mallikuvassa on havainnollistettu suoraa $L$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $\pv{OP} = 2\vi + \vj + t(-2\vi + 3\vj + 2\vk)$. Tavoitteena on määrittää pisteen $Q = (-2,7,8)$ etäisyys suorasta $L$.

Etäisyyden määrittämiseksi on etsittävä suoran $L$ piste $P$, joka on lähimpänä pistettä $Q$. Se löydetään piirtämällä pisteen $Q$ kautta toinen suora, joka on kohtisuorassa suoraa $L$ vastaan.

Vektori $\pv{QP}$ voidaan kirjoittaa summana $$\pv{QP} = \pv{QA} + \pv{AP}.$$ Tässä vektori $\pv{QA}$ voidaan määrittää pisteiden $A = (2,1,0)$ ja $Q = (3,2,8)$ avulla. (Piste $A$ voidaan päätellä suoran $L$ parametriesityksestä.)

Vektoriksi $\pv{QA}$ saadaan $$\begin{align*} \pv{QA} &= (2-3)\vi + (1-2)\vj + (0-8)\vk \\ &= -\vi - \vj - 8\vk. \end{align*}$$ Vektori $\pv{AP}$ puolestaan on suoran $L$ suuntavektorin $\vv = -2\vi + 3\vj + 2\vk$ jokin skalaarimonikerta. (Suuntavektori voidaan lukea suoran $L$ parametriesityksestä.) Toisin sanottuna $$\begin{align*} \pv{AP} &= t\vv \\ &= t(-2\vi + 3\vj + 2\vk) \\ &= -2t\vi + 3t\vj + 2t\vk. \end{align*}$$ Vektoriksi $\pv{QP}$ saadaan siis $$\begin{align*} \pv{QP} &= \pv{QA} + \pv{AP} \\ &= (-\vi - \vj - 8\vk) + (-2t\vi + 3t\vj + 2t\vk) \\ &= (-1-2t)\vi + (-1+3t)\vj + (-8+2t)\vk. \end{align*}$$ Piste $P$ on lähimpänä pistettä $Q$, jos ja vain jos vektori $\pv{QP}$ on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria $\vv$ vastaan. Toisin sanottuna, jos ja vain jos $$\pv{QP} \cdot \vv = 0.$$ Kun tähän yhtälöön sijoitetaan edellä selvitetyt vektorit, se saadaan muotoon $$((-1-2t)\vi + (-1+3t)\vj + (-8+2t)\vk)\cdot (-2\vi + 3\vj + 2\vk) = 0.$$ Kun lasketaan pistetulo, yhtälö saadaan muotoon $$(-1-2t)\cdot (-2) + (-1+3t)\cdot 3 + (-8+2t)\cdot 2 = 0$$ ja sievennyksen sekä muutaman välivaiheen jälkeen muotoon $$17t -17 = 0.$$ Tästä saadaan ratkaistua $$t = 1.$$ Siten $$\begin{align*} \pv{QP} &= (-1-2t)\vi + (-1+3t)\vj + (-8+2t)\vk \\ &= -3\vi + 2\vj-6\vk. \end{align*}$$ Pisteen $Q$ etäisyys suorasta $L$ saadaan selville, kun lasketaan vektorin $\pv{QP}$ pituus $$\begin{align*} |\pv{QP}| &= \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + (-6)^2}\\ &= \sqrt{49} = 7. \end{align*}$$

Tarkastellaan alla olevaa kuvaa. Pisteiden $A$, $B$ ja $C$ kautta on mahdollista piirtää ainoastaan yksi taso, sillä nämä pisteet eivät ole samalla suoralla.

Kaksi pistettä tai kolme samalla suoralla olevaa pistettä ei riitä tason määräämiseen, sillä niiden kautta voi kulkea äärettömän monta eri tasoa.

Vektoreiden avulla taso voidaan määrittää samaan tapaan kuin suora. Ainoa ero on, että tason määrittämiseen ei yksi suuntavektori riitä vaan niitä tarvitaan kaksi.

Tason vektorimuotoinen parametriesitys kertoo, millaisia tason pisteiden paikkavektorit ovat. Kun siinä esiintyville parametreille $s$ ja $t$ annetaan eri arvoja, saadaan tason eri pisteiden paikkavektoreita samaan tapaan kuin suoran tilanteessa.

Tarkastellaan tasoa, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = \vi + 2\vj + 3\vk + s(4\vi + 5\vk) + t(6\vi - 7\vj + 8\vk).$$ Sitä on havainnollistettu alla olevassa mallikuvassa:

Jos pisteen $P$ koordinaatteja merkitään kirjaimilla $x$, $y$ ja $z$, voidaan yllä oleva parametriesitys kirjoittaa muodossa $$x\vi + y\vj + z\vk = \vi + 2\vj + 3\vk + s(4\vi + 5\vk) + t(6\vi - 7\vj + 8\vk).$$ Tämän yhtälön oikealla puolella voidaan kertoa sulut auki, jolloin yhtälö saadaan muotoon $$x\vi + y\vj + z\vk = \vi + 2\vj + 3\vk + 4s\vi + 5s\vk + 6t\vi - 7t\vj + 8t\vk.$$ Yhtälön oikeaa puolta voidaan vielä sieventää suorittamalla yhteenlaskut, minkä jälkeen yhtälö näyttää tältä: $$x\vi + y\vj + z\vk = (1+4s + 6t)\vi + (2-7t)\vj + (3+5s+8t)\vk.$$ Vektoreiden samuuden määritelmän mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos yhtälön eri puolilla olevat vektorit voidaan ilmaista samalla tavalla vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ avulla eli $$ \left\{\begin{aligned} x &= 1+4s + 6t \\ y &= 2-7t \\ z &= 3+5s+8t. \end{aligned}\right. $$ Minkä tahansa tason vektorimuotoinen parametriesitys voidaan muuttaa vastaavaan muotoon, jossa tason pisteen jokaiselle koordinaatille on oma yhtälönsä. Tätä esitystapaa sanotaan tason koordinaattimuotoiseksi parametriesitykseksi.

Tason vektorimuotoisen parametriesityksen ja siitä saatavan koordinaattimuotoisen parametriesityksen avulla voidaan tutkia, onko jokin piste tasossa. Jos tarkastellun pisteen paikkavektoria ei saada tason parametriesityksestä millään parametrien $s$ ja $t$ arvoilla, voidaan päätellä, että tämä piste ei ole tasossa.

Tason koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä voidaan tarvittaessa siirtyä takaisin vektorimuotoiseen parametriesitykseen samaan tapaan kuin suorien tapauksessa.

Tutkitaan seuraavaksi suorien ja tasojen leikkauspisteitä. Suora ja taso leikkaavat toisensa, jos ja vain jos niillä on yhteinen piste. Toisin sanottuna suora ja taso leikkaavat toisensa, jos ja vain jos on olemassa piste $P$, jonka paikkavektori $\pv{OP}$ toteuttaa sekä suoran että tason parametriesityksen. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Jos suoran parametriesitys on $\pv{OP} = \pv{OA} + t\vv$ ja tason parametriesitys on $\pv{OP} = \pv{OC} + r\vw + s\vu$, löydetään suoran ja tason leikkauspiste tutkimalla yhtälöä $$\pv{OA} + t\vv = \pv{OC} + r\vw + s\vu.$$ Jos tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua, tarkoittaa se, ettei tarkastelluilla suoralla ja tasolla ole yhtään leikkauspistettä.

Vektoriyhtälöstä $\pv{OA} + t\vv = \pv{OC} + r\vw + s\vu$ voidaan muodostaa yhtälöryhmä tarkastelemalla erikseen vektoreiden $\vi$, $\vj$ ja $\vk$ suuntaisia komponentteja. Esimerkiksi yhtälöä $$\vi-3\vj + t(\vi + \vj + \vk) = \vi + 2\vj + 3\vk + r(4\vi + 5\vk) + s(6\vi - 7\vj + 8\vk)$$ vastaa yhtälöryhmä $$ \left\{\begin{aligned} 1 + t &= 1+4r+6s &\quad &\text{(vektoreiden $\vi$ kertoimet)}\\ -3 + t &= 2 -7s &\quad &\text{(vektoreiden $\vj$ kertoimet)}\\ t &= 3 + 5r + 8s &\quad &\text{(vektoreiden $\vk$ kertoimet).} \end{aligned}\right. $$ Tämä yhtälöryhmä voidaan vielä muokata muotoon, jossa yhtälöiden kaikki tuntemattomat ovat yhtäsuuruusmerkin vasemmalla puolella ja vakiot oikealla puolella: $$ \left\{\begin{aligned} t -4r - 6s &= 0 \\ t + 7s&= 5 \\ t -5r -8s&= 3. \end{aligned}\right. $$ Tämän jälkeen yhtälöryhmä voidaan ratkaista tavalliseen tapaan kynän ja paperin avulla tai käyttämällä laskinta tai tietokonetta.

Tarkastellaan alla olevan kuvan suoraa $L$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = 2\vi + \vj + t(2\vi - \vj).$$

Kuvassa on näkyvissä vektori $\vn = \vi + 2\vj$, joka on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria $\vv = 2\vi - \vj$ vastaan. Tämä voidaan varmistaa laskemalla näiden vektoreiden pistetulo: $$\begin{align*} \vn \cdot \vv &= (\vi + 2\vj)\cdot (2\vi - \vj) \\ &= 1\cdot 2 + 2\cdot (-1) \\ &= 2-2 = 0. \end{align*} $$ Koska vektori $\vn$ on kohtisuorassa suoran $L$ suuntavektoria vastaan ja siten myös koko suoraa $L$ vastaan, sanotaan sitä suoran $L$ normaalivektoriksi.

Tutkimalla alla olevaa kuvaa voidaan havaita, että piste $P = (x,y)$ on suoralla $L$, jos ja vain jos vektori $\pv{AP}$ on kohtisuorassa suoran normaalivektoria $\vn$ vastaan. Pistetulon avulla sama asia voidaan ilmaista sanomalla, että piste $P = (x,y)$ on suoralla $L$, jos ja vain jos $$\pv{AP} \cdot \vn = 0,$$ missä $\vn$ on suoran $L$ normaalivektori.

Kun yhtälöön $\pv{AP} \cdot \vn = 0$ sijoitetaan vektori $\pv{AP} = (x-2)\vi + (y-1)\vj$ ja suoran $L$ normaalivektori $\vn = \vi + 2\vj$, saadaan se muotoon $$((x-2)\vi + (y-1)\vj)\cdot (\vi + 2\vj)= 0.$$ Vasenta puolta voidaan sieventää laskemalla pistetulot: $$(x-2)\cdot 1 + (y-1)\cdot 2 = 0.$$ Sievennyksen jälkeen yhtälö saadaan muotoon $$x + 2y -4 = 0.$$

Tarkastellaan tasoa $T$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = -3\vi + 2\vk + s(3\vi + \vk) + t(4\vi - \vj).$$ Sitä on havainnollistettu alla olevassa mallikuvassa.

Kuvassa on näkyvissä vektori $\vn = \vi + 4\vj-3\vk$, joka on kohtisuorassa tason $%$ suuntavektoreita $\vw = 3\vi + \vk$ ja $\vv = 4\vi - \vj$ vastaan. Tämä voidaan varmistaa laskemalla näiden vektoreiden pistetulot: $$\begin{align*} \vn \cdot \vw &= (\vi + 4\vj-3\vk)\cdot (3\vi + \vk) \\ &= 1\cdot 3 + 4\cdot 0 + (-3)\cdot 1\\ &= 3-3 = 0. \end{align*} $$ ja $$\begin{align*} \vn \cdot \vv &= (\vi + 4\vj-3\vk)\cdot (4\vi - \vj) \\ &= 1\cdot 4 + 4\cdot (-1) + (-3)\cdot 0\\ &= 4-4 = 0. \end{align*} $$ Koska vektori $\vn$ on kohtisuorassa tason $T$ kumpaakin suuntavektoria vastaan ja siten myös koko tasoa $T$ vastaan, sanotaan sitä tason $T$ normaalivektoriksi.

Tarkastellaan edelleen tasoa $T$, jonka vektorimuotoinen parametriesitys on $$\pv{OP} = -3\vi + 2\vk + s(3\vi + \vk) + t(4\vi - \vj).$$ Tutkimalla alla olevaa kuvaa voidaan havaita, että piste $P = (x,y,z)$ on tasossa $T$, jos ja vain jos vektori $\pv{AP}$ on kohtisuorassa tason normaalivektoria $\vn = \vi + 4\vj-3\vk$ vastaan. Pistetulon avulla sama asia voidaan ilmaista sanomalla, että piste $P = (x,y,z)$ on tasossa $T$, jos ja vain jos $$\pv{AP} \cdot \vn = 0,$$ missä $\vn$ on tason $T$ normaalivektori.

Kun yhtälöön $\pv{AP} \cdot \vn = 0$ sijoitetaan vektori $\pv{AP} = (x+3)\vi + (y-0)\vj + (z-2)\vk$ ja tason $T$ normaalivektori $\vn = \vi + 4\vj-3\vk$, saadaan se muotoon $$((x+3)\vi + y\vj + (z-2)\vk)\cdot (\vi + 4\vj-3\vk)= 0.$$ Vasenta puolta voidaan sieventää laskemalla pistetulot: $$(x+3)\cdot 1 + 4y + (z-2)\cdot (-3) = 0.$$ Sievennyksen jälkeen yhtälö saadaan muotoon $$x + 4y -3z +9 = 0.$$

Tason normaalivektoria voidaan hyödyntää myös suoran ja tason välisen kulman määrittämiseen. Alla oleva mallikuva havainnollistaa edellisen tehtävän tasoa $T$, jonka normaalimuotoinen yhtälö on $-x + 3y + 2z - 5= 0$. Kuvassa on lisäksi suora $L$, jolla on parametriesitys $\pv{OP} = 2\vi + \vk + t(-\vi + \vj + 2\vk)$.

Tason $T$ yhtälöstä voidaan päätellä, että tasolla $T$ on normaali $\vn = -\vi + 3\vj + 2\vk$. Suoran $L$ parametriesityksestä voidaan päätellä, että suoralla $L$ on suuntavektori $\vv = -\vi + \vj + 2\vk$. Näiden välinen kulma voidaan laskea pistetulon avulla: $$\begin{align*} \cos(\vn, \vv) &= \frac{\vn\cdot\vv}{|\vn||\vv|} \\ &= \frac{(-1)\cdot(-1) + 3\cdot 1 + 2\cdot 2}{\sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 2^2}\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2}} \\ &= \frac{8}{\sqrt{14}\sqrt{6}} \ (\approx 0{,}87287156). \end{align*}$$ Laskimella saadaan tästä $\sphericalangle(\vn,\vv) = 29{,}205932\ldots \approx 29{,}2^\circ$. Tämä on siis suoran $L$ ja tason normaalin välinen kulma. Koska tason normaalin ja tason välinen kulma on $90^\circ$, saadaan suoran ja tason välinen kulma $\alpha$ vähennyslaskulla: $$\alpha = 90^\circ - 29{,}2^\circ = 60{,}8^\circ.$$ Suoran $L$ ja tason $T$ välinen kulma on siis noin $60{,}8^\circ$.

Edellisissä luvuissa olemme tutustuneet $xy$- ja $xyz$-koordinaatistojen vektoreihin ja niillä laskemiseen. Vektoreita voidaan kuitenkin käyttää myös ilman koordinaatistoa. Mallikuvat, joita olemme piirtäneet kolmiulotteisen avaruuden tilanteista, ovat olleet askel tähän suuntaan.

Palautetaan mieleen, että vektoreiden summan $\bar{v}+\bar{w}$ voi määrittää piirtämällä vektorit $\bar{v}$ ja $\bar{w}$ peräkkäin. Erotuksen $\bar{v}-\bar{w}$ voi puolestaan määrittää piirtämällä peräkkäin vektorit $\bar{v}$ ja $-\bar{w}$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa $$\begin{align*} \va &= \vb + \vc \\ \vb &= \va - \vc \\ \vc &= -\vb + \va = \va - \vb. \end{align*}$$

Joissakin tilanteissa vektorin pituus täytyy muuttaa sopivaksi kertomalla vektoria reaaliluvulla. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa piste $C$ jakaa janan $AB$ suhteessa $3:5$. Tällöin $$\pv{AC} = \frac{3}{3+5}\pv{AB} = \frac{3}{8}\pv{AB}.$$

Vektori $\pv{OC}$ saadaan lausuttua vektorien $\va = \pv{OA}$ ja $\vb = \pv{OB}$ avulla, kun etsitään reitti pisteestä $O$ pisteeseen $C$. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi kiertämällä pisteen $A$ kautta seuraavasti: $$\begin{align*} \pv{OC} &= \pv{OA} + \pv{AC} \\ &= \pv{OA} + \frac{3}{8}\pv{AB} \\ &= \va + \frac{3}{8}(-\va + \vb) \\ &= \va - \frac{3}{8}\va + \frac{3}{8}\vb \\ &= \frac{5}{8}\va + \frac{3}{8}\vb. \end{align*}$$

Joskus vektorin pituuden selvittämiseen voidaan käyttää pistetuloa ja sen ominaisuuksia. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Oletetaan, että $\vv \neq \bar{0}$, $\vw \neq \bar{0}$ ja $\vv \nparallel \vw$. Palautetaan mieleen, että jos vektori $\va$ voidaan kirjoittaa muodossa $$\va = s\vv + t\vw$$ missä $s$ ja $t$ ovat reaalilukuja, niin sanotaan, että $s\vv$ ja $t\vw$ ovat vektorin $\va$ vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ suuntaiset komponentit. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa.

Seuraavan teoreeman mukaan mikä tahansa vektori voidaan jakaa vektoreiden $\vv$ ja $\vw$ suuntaisiin komponentteihin enintään yhdellä tavalla.

Edellistä teoreemaa voidaan hyödyntää tilanteissa, joissa on mahdollista muodostaa jokin vektori annettujen vektoreiden avulla kahta eri reittiä. Tällä tavalla voidaan ratkaista erilaisia geometrisia ongelmia. Tätä havainnollistetaan seuraavassa esimerkissä.

Tarkastellaan yllä olevaa kuvaa. Selvitetään, missä suhteessa piste $Q$ jakaa lävistäjän $BD$, kun tiedetään, että piste $P$ jakaa sivun $DC$ suhteessa $3:2$.

Piste $Q$ on sekä janalla $AP$ että lävistäjällä $BD$, joten vektori $\pv{AQ}$ voidaan muodostaa kahta eri reittiä vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla.

Koska piste $Q$ on janalla $AP$, vektorit $\pv{AQ}$ ja $\pv{AP}$ ovat yhdensuuntaiset. Siten on olemassa luku $s$, jolla $$\pv{AQ} = s\pv{AP}.$$ Vektori $\pv{AP}$ voidaan puolestaan kirjoittaa summana $$\pv{AP} = \pv{AD} + \pv{DP}.$$ Koska piste $P$ jakaa sivun $DC$ suhteessa $3:2$, on $$\begin{align*} \pv{DP} &= \frac{3}{3+2} \pv{DC} = \frac{3}{5}\va. \end{align*}$$ Yhdistämällä kaikki edelliset tiedot saadaan $$\begin{align*} \pv{AQ} &= s\pv{AP} \\ &= s(\pv{AD} + \pv{DP}) \\ &= s(\vb + \frac{3}{5}\va) \\ &= \frac{3}{5}s\va + s\vb. \end{align*}$$

Koska piste $Q$ on lävistäjällä $BD$, vektorit $\pv{BQ}$ ja $\pv{BD}$ ovat yhdensuuntaiset. Siten on olemassa luku $t$, jolla $$\pv{BQ} = t\pv{BD}.$$ Vektori $\pv{BD}$ voidaan puolestaan kirjoittaa summana $$\begin{align*} \pv{BD} &= \pv{BA} + \pv{AD} \\ &= -\va + \vb \\ &= \vb - \va. \end{align*}$$ Muodostetaan näiden tietojen avulla vektori pisteestä $A$ pisteeseen $Q$: $$\begin{align*} \pv{AQ} &= \pv{AB} + \pv{BQ} \\ &= \va + t\pv{BD} \\ &= \va + t(\vb - \va) \\ &= \va + t\vb - t\va \\ &= (1-t)\va + t\vb. \end{align*}$$

Näin on saatu muodostettua vektori $\pv{AQ}$ kahta eri reittiä vektoreiden $\va$ ja $\vb$ avulla. Nyt tiedetään, että $\pv{AQ} = \frac{3}{5}s\va + s\vb$ ja $\pv{AQ} = (1-t)\va + t\vb$. Siis $$\frac{3}{5}s\va + s\vb = (1-t)\va + t\vb.$$ Edellisen teoreeman mukaan tästä yhtälöstä seuraa, että $$ \left\{\begin{aligned} \frac{3}{5}s &= 1-t \\ s &= t. \end{aligned}\right. $$ Kun ylempään yhtälöön sijoitetaan $s = t$, se saa muodon $$\frac{3}{5}t = 1-t$$ lisäämällä molemmille puolille $t$ se saadaan muotoon $$\frac{8}{5}t = 1.$$ Siis $$t = \frac{5}{8}.$$ Koska $$\pv{BQ} = t\pv{BD} = \frac{5}{8}\pv{BD},$$ voidaan päätellä, että jana $BD$ voidaan jakaa kahdeksaan osaan, joista viisi muodostaa janan $BQ$ ja kolme muodostaa janan $QD$. Piste $Q$ jakaa siis janan $BD$ suhteessa $5:3$.

Seuraavassa tehtävässä tutkitaan tetraedriä eli nelitahokasta.

Vektoreiden yhdensuuntaisuuteen liittyvissä kysymyksissäkin saatetaan tarvita teoreemaa 11. Seuraava tehtävä on esimerkki tällaisesta tilanteesta.

Myös pistetuloa voidaan hyödyntää geometristen väitteiden perusteluissa. Tarkastellaan esimerkiksi suunnikasta, jonka lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Kuvan perusteella näyttäisi siltä, että suunnikkaan kaikki sivut ovat tässä tapauksessa yhtä pitkiä. Onko kysymys ehkä vain sattumasta? Olisiko mahdollista piirtää suunnikas, jonka lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mutta jolla on kaksi eri pituista sivua? Seuraavassa tehtävässä tutkitaan tätä asiaa pistetulon avulla.