Tässä kappaleessa tutkitaan vakiofunktioita sekä ensimmäisen asteen polynomifunktioita, joihin tutustuttiin jo MAY1-kurssilla. Palautetaan aluksi mieleen MAY1-kurssilta tuttu funktion nollakohdan määritelmä:

Funktiota, joka saa joka kohdassa saman arvon, sanotaan vakiofunktioksi:

Palautetaan seuraavaksi mieleen MAY1-kurssista tuttu ensimmäisen asteen polynomifunktion määritelmä:

Funktion $f$ kuvaaja muodostuu pisteistä, joiden $y$-koordinaatti on funktion arvo eli $y = f(x)$. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on ensimmäisen asteen polynomifunktion $$f(x) = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$$ kuvaaja. Sen kuvaajan pisteet ovat muotoa $$\left(x, -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}\right).$$

Suoran yhtälössä $y = ax + b$ esiintyvä kerroin $a$ on kyseisen suoran kulmakerroin.

Kuten edellisessä tehtävässä havaittiin, suora $y = ax + b$ on nouseva, jos $a > 0$ eli kulmakerroin on positiivinen, ja laskeva, jos $a < 0$ eli kulmakerroin on negatiivinen. Lisäksi kulmakerroin vaikuttaa suoran jyrkkyyteen: mitä lähempänä nollaa kulmakerroin on, sitä loivemmin suora nousee tai laskee.

Tässä kappaleessa palautetaan mieleen, miten niin sanotuilla polynomeilla lasketaan. Polynomi tarkoittaa lauseketta, joka on muodostettu muuttujista (eli kirjaimista) ja vakioista (eli luvuista) käyttämällä yhteen-, vähennys- ja kertolaskua. Esimerkiksi $$2x^3-5x^2 + 8x -3$$ on polynomi, samoin $$7x^4-9.$$ Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia. Esimerkiksi $$5xy^2-3x+5y^3-3$$ on niin sanottu kahden muuttujan polynomi. Tällä kurssilla keskitytään yhden muuttujan polynomeihin.

Polynomien yhteen- ja vähennyslaskussa yhdistetään samaa astetta olevat termit. Seuraavat laskut havainnollistavat ideaa:

Matkan viimeisenä päivänä reppureissaaja löytää lompakostaan 35 euroa, 25 puntaa ja 150 Japanin jeniä. Hänen kaverillaan on puolestaan taskussaan 15 euroa, 7 puntaa ja 95 jeniä. Kuinka paljon rahaa kaveruksilla on yhteensä? $$\begin{align*} &\quad (35 \,€ + 25 \,£ + 150 \,¥) + (15 \,€ + 7 \,£ + 95 \,¥) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥. \end{align*}$$ Paluumatkalla kaverukset ostavat tuliaisia ja käyvät syömässä. Tähän kuluu yhteensä 40 euroa, 27 puntaa ja 195 jeniä. Kuinka paljon rahaa jää jäljelle? $$\begin{align*} &\quad (50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥) \textcolor{red}{-} (40 \,€ + 27 \,£ + 195 \,¥) \\ &= 50 \,€ + 32 \,£ + 245 \,¥ \textcolor{red}{-} 40 \,€ \textcolor{red}{-} 27 \,£ \textcolor{red}{-} 195 \,¥ \\ &= 10 \,€ + 5 \,£ + 50 \,¥. \end{align*}$$ Huomaa, että polynomien vähennyslaskussa jälkimmäisen polynomin jokainen merkki vaihtuu samaan tapaan kuin edellisessä laskussa.

Sellaiset murtolausekkeet, joiden osoittajana on polynomi ja nimittäjänä jokin luku, ovat itsekin polynomeja. Esimerkiksi murtolauseketta $$\begin{align*} \frac{x-2}{3} \end{align*}$$ voidaan muokata seuraavasti: $$\begin{align*} \frac{x-2}{3} &= \frac{1}{3}\left(x-2\right) = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} \end{align*}$$ Viimeisestä muodosta nähdään, että kysymyksessä on ensimmäisen asteen polynomi.

Murtolausekkeena kirjoitettujen polynomien summia ja erotuksia laskettaessa lausekkeet on lavennettava samannimisiksi samaan tapaan kuin murtoluvuilla laskettaessa. Lisäksi pitää huomata, että miinusmerkki murtolausekkeen edessä vaikuttaa koko osoittajaan. Esimerkiksi $$\begin{align*} \frac{x^2+5x-7}{2}\textcolor{red}{-}\frac{x-2}{3} &= \frac{3(x^2+5x-7)}{6}\textcolor{red}{-}\frac{2(x-2)}{6} \\ &= \frac{3x^2+15x-21\textcolor{red}{-}2x\textcolor{red}{+}4}{6} \\ &= \frac{3x^2+13x-17}{6} \end{align*}$$

Kun polynomia kerrotaan monomilla, kerrotaan jokainen polynomin termi erikseen samaan tapaan kuin seuraavassa laskussa:

Kun reppureissaaja ja hänen kaverinsa palasivat Suomeen, he päättivät lahjoittaa viidesosan jäljelle jääneistä rahoista hyväntekeväisyyteen ja jakaa loput rahoista tasan. Kuinka paljon he lahjoittivat hyväntekeväisyyteen? $$\begin{align*} \frac{1}{5} (10 \,€ + 5 \,£ + 50 \,¥) &= \frac{10}{5} \,€ + \frac{5}{5} \,£ + \frac{50}{5} \,¥ \\[1mm] &= 2 \,€ + 1 \,£ + 10 \,¥ \end{align*}$$ Huomaa, että jos molemmissa tulon tekijöissä on kirjainosa, sievennetään lopputuloksen kirjainosa potenssin määritelmän ja laskusääntöjen mukaan. Esimerkiksi monomien $-2x^3$ ja $-4x^2$ tulo on $$\begin{align*} -2x^3\cdot (-4x^2) &= -2 \cdot (-4) \cdot xxxxx \\ &= 8x^5 \end{align*}$$

Edellisessä tehtävässä laskettiin monomin ja polynomin tuloja kertomalla sulut auki. Joissakin tilanteissa on tarpeen tehdä sama asia päinvastaiseen suuntaan ja kirjoittaa polynomi tulomuodossa. Tämä onnistuu, jos polynomin jokaisessa termissä on sama tulon tekijä. Esimerkiksi polynomin $$12x^4-16x^2 + 8x$$ kaikki kertoimet ovat luvun 4 monikertoja ja kaikissa kirjainosissa on mukana $x$. Tämä polynomi voidaankin kirjoittaa muodossa $$\textcolor{red}{4x} \cdot 3x^3 - \textcolor{red}{4x} \cdot 4x + \textcolor{red}{4x} \cdot 2,$$ josta nähdään, että yhteiseksi tekijäksi voidaan erottaa $\textcolor{red}{4x}$. Siis $$12x^4-16x^2 + 8x = \textcolor{red}{4x}(3x^3-4x+2).$$

Kahden polynomin tulo lasketaan vaiheittain niin, että ensimmäisen tulon tekijän jokaisella termillä kerrotaan jälkimmäinen tulon tekijä samaan tapaan kuin monimin ja polynomin tuloa laskettaessa. Esimerkiksi tulon $$(2x-3)(-4x^2+x-5)$$ tapauksessa kerrotaan jälkimmäisen polynomin kaikki termit ensin monomilla $2x$ ja sen jälkeen monomilla $-3$: $$\begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2x}\textcolor{red}{-3})(-4x^2+x-5) \\ &= \textcolor{blue}{-8x^3+2x^2-10x}\textcolor{red}{+12x^2-3x+15} \end{align*}$$

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin ensimmäisen asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään niin sanottuun ensimmäisen asteen yhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, missä kohdassa funktio $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ saa arvon $2$, joudutaan tutkimaan yhtälöä $$f(x) = 2$$ eli yhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 = 2.$$ Tätä yhtälöä voidaan havainnollistaa piirtämällä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 2$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että kuvaajat leikkaavat eli funktiot saavat saman arvon kohdassa $x = 4{,}5$.

Sijoittamalla voidaan tutkia, onko jokin yksittäinen luku tarkasteltavan yhtälön ratkaisu. Usein on kuitenkin tarpeen etsiä yhtälön kaikki ratkaisut tai selvittää, onko yhtälöllä ylipäätään olemassa ratkaisua. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakin sitä, että etsitään yhtälön kaikki ratkaisut. Seuraavaksi harjoitellaan tekemään tämä ensimmäisen asteen yhtälön tapauksessa.

Kun yhtälöä muokataan, on äärimmäisen tärkeää huolehtia siitä, että sen ratkaisut eivät muutu (muuten saadaan vääriä tuloksia). On mahdollista osoittaa, että seuraavat operaatiot eivät vaikuta yhtälön ratkaisuihin, joten niitä voidaan käyttää yhtälön muokkaamiseen:

1. Yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
2. Yhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
3. Yhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla nollasta erovalla luvulla tai lausekkeella

Tämän kappaleen alussa tarkasteltiin yhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 = 2.$$ Kun se ratkaistaan yhtälöä muokkaamalla, lisätään aluksi yhtälön molemmille puolille luku $1$. Näin päädytään yhtälöön $$\dfrac{2}{3}x = 3.$$ Sen jälkeen yhtälön molemmat puolet voidaan esimerkiksi kertoa kertoimen $\frac{2}{3}$ käänteisluvulla $\frac{3}{2}$. Näin päädytään yhtälöön $$x = \frac{3}{2} \cdot 3$$ eli yhtälöön $$x = \frac{9}{2}.$$ Näitä yhtälöitä on havainnollistettu alla olevissa kuvissa. Niistä nähdään, että kaikilla kolmella yhtälöllä on sama ratkaisu, kuten pitääkin olla.

Yhtälön ulkonäöstä ei aina voi päätellä, onko kysymyksessä ensimmäisen asteen yhtälö. Esimerkiksi yhtälö $$5x-8x + 9 = 3(3-x)$$ näyttää ensimmäisen asteen yhtälöltä, koska siinä esiintyy vain muuttujan $x$ ensimmäinen potenssi. Kun yhtälön vasen ja oikea puoli sievennetään, se saadaan muotoon $$-3x + 9 = 9-3x.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $9$, päädytään yhtälöön $$-3x = -3x.$$ Tästä nähdään, että yhtälö toteutuu, sijoitetaanpa muuttujan $x$ paikalle mikä tahansa luku. Tarkastellun yhtälön ratkaisuja ovat siis kaikki reaaliluvut.

Jos yhtälön molemmille puolille lisätään vielä $3x$, päädytään yhtälöön $$0 = 0.$$ Tämäkin yhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Huomataan, että kysymyksessä ei ollut ensimmäisen asteen yhtälö, sillä tarkasteltua yhtälöä ei voinut esittää muodossa $ax+b = 0$, missä $a \neq 0$.

Tutkitaan vielä yhtälöä $$2(x+1) = -3x+1-(2-5x).$$ Kun sen vasen ja oikea puoli sievennetään, yhtälö saadaan muotoon $$2x + 2 = 2x-1.$$ Kun yhtälön molemmilta puolilta vähennetään $2x$, päädytään yhtälöön $$2 = -1.$$ Huomataan, että tämä yhtälö on epätosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta. Yhtälöllä ei siis ole yhtään ratkaisua.

Kun tutkitaan ensimmäisen asteen polynomifunktion arvoja, voidaan päätyä myös niin sanottuun ensimmäisen asteen epäyhtälöön. Esimerkiksi jos halutaan tietää, millä muuttujan $x$ arvoilla funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ arvot ovat pienempiä kuin $2$, joudutaan tutkimaan epäyhtälöä $$f(x) < 2$$ eli epäyhtälöä $$\dfrac{2}{3}x - 1 < 2.$$ Tätä epäyhtälöä voidaan havainnollistaa samaan tapaan kuin vastaavaa yhtälöä eli piirtämällä funktion $f(x) = \frac{2}{3}x - 1$ kuvaaja ja vakiofunktion $g(x) = 2$ kuvaaja samaan koordinaatistoon:

Piirroksesta nähdään, että funktion $f$ arvot ovat pienempiä kuin $2$, jos ja vain jos $x < 4{,}5$.

Epäyhtälön ratkaisuna saadaan yleensä yksittäisen luvun sijaan suuri määrä lukuja. Esimerkiksi luvun alussa tarkastellun epäyhtälön toteuttivat kaikki lukua $4{,}5$ pienemmät reaaliluvut. Nämä luvut muodostavat tarkastellun epäyhtälön ratkaisujoukon.

Ensimmäisen asteen epäyhtälöä voidaan muokata samaan tapaan kuin ensimmäisen asteen yhtälöä. Erona on, että negatiivisella luvulla kerrottaessa tai jaettaessa täytyy epäyhtälömerkin suunta vaihtaa, jotta saadaan oikeita tuloksia. Sallitut operaatiot ovat siis seuraavat:

1. Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku tai lauseke.
2. Epäyhtälön molemmilta puolilta voidaan vähentää sama luku tai lauseke.
3. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla positiivisella luvulla.
4. Epäyhtälön molemmat puolet voidaan kertoa tai jakaa samalla negatiivisella luvulla, jos samalla vaihdetaan epäyhtälömerkin suunta.

Edellisessä luvussa kohdattiin tilanteita, joissa tarkastellulla yhtälölllä ei ollut yhtään ratkaisua. Näin voi käydä myös epäyhtälön tapauksessa. Esimerkiksi epäyhtälö $$x-3(x+1) > 2(1-x)$$ saadaan sieventämällä muotoon $$x-3x-3 > 2-2x$$ ja edelleen muotoon $$-2x-3 > 2 -2x.$$ Kun tämän epäyhtälön molemmille puolille lisätään $2x$, päädytään epäyhtälöön $$-3 > 2.$$ Se on epätosi kaikilla muuttujan $x$ arvoilla, joten tarkastellulla epäyhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja.

Joidenkin epäyhtälöiden ratkaisujoukko muodostuu kaikista reaaliluvuista. Esimerkiksi kun epäyhtälön $$-\frac{x}{2} + 3 \geq 1 - \frac{1}{2}x$$ molemmat puolet kerrotaan positiivisella luvulla $2$, päädytään epäyhtälöön $$-x+6 \geq 2-x.$$ Kun tämän molemmille puolille lisätään $x$, saadaan epäyhtälö $$6 \geq 2.$$ Tämä epäyhtälö on tosi riippumatta muuttujan $x$ arvosta, joten tarkastellun epäyhtälön ratkaisujoukon muodostavat kaikki reaaliluvut.

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun toisen asteen potenssifunktioon ja palautetaan mieleen, mitä luvun neliöjuuri tarkoittaa.

Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on piirretty alla olevaan kuvaan. Se on muodoltaan paraabeli.

Toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen positiivinen luku, jonka toinen potenssi on seitsemän. Vastaavasti määritellään muidenkin epänegatiivisten lukujen neliöjuuret.

Epänegatiivisia lukuja ovat luku nolla sekä kaikki positiiviset luvut. Luku $a$ on siis epänegatiivinen, jos ja vain jos $a \geq 0$. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

Jos luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}$, pätee sille siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Luvun $a$ neliöjuurelta vaaditaan neliöjuuren määritelmän mukaan kaksi asiaa: sen pitää olla epänegatiivinen ja sen toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi luvulle $\frac{1}{2}$ pätee $\frac{1}{2} \geq 0$ ja $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, joten se on luvun $\frac{1}{4}$ neliöjuuri. Voidaan siis merkitä $$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2.}$$

Toisen asteen potenssifunktion kuvaajan avulla voidaan ratkaista sellaisia toisen asteen yhtälöitä, jotka ovat muotoa $x^2 = a$. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = \sqrt{7}$ ja $x_2 = -\sqrt{7}$. Sama asia voidaan ilmaista myös sanomalla, että yhtälö $x^2 = 7$ toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{7}$ tai $x = -\sqrt{7}$.

Kaikki sellaiset toisen asteen yhtälöt, joissa esiintyy vain tuntemattoman toinen potenssi, saadaan ratkaistua samaan tapaan kuin edellä. Ensin yhtälö täytyy vain muuttaa muotoon $x^2 = a$. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$4x^2 - 3 = 0.$$ Kun sen molemmille puolille lisätään luku $3$, päädytään yhtälöön $$4x^2 = 3.$$ Tämä yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $4$, jolloin saadaan yhtälö $$x^2 = \frac{3}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ tai } \quad x = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Ratkaisun aikana tarkasteltuja yhtälöitä ja niiden ratkaisuja on havainnollistettu alla olevassa kuvassa. Huomaa, että kaikilla yhtälöillä on samat ratkaisut kuten pitääkin.

Edellisessä kappaleessa ratkaistiin yhtälö $4x^2 - 3 = 0$. Ratkaisuiksi saatiin $$x_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ ja } \quad x_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Tässä kappaleessa harjoitellaan neliöjuurilla laskemista ja opitaan muun muassa sieventämään nämä ratkaisut toiseen muotoon.

Neliöjuuren määritelmän mukaan luku $x$ on luvun $y \geq 0$ neliöjuuri, jos se toteuttaa kaksi ehtoa:

1. luvun $x$ pitää olla epänegatiivinen eli $x \geq 0$
2. luvun $x$ toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin $y$ eli $x^2 = y$.

Seuraavan teoreeman perustelussakin tarkistetaan nämä kaksi ehtoa, kun osoitetaan, että neliöjuurten tulo on yhtä suuri kuin tulon neliöjuuri.

Seuraava teoreema perusteltiin äskeisessä tehtävässä:

Kokonaislukujen neliöjuuret sievennetään yleensä muotoon, jossa juurrettavana on mahdollisimman pieni kokonaisluku. Sieventäminen onnistuu teoreeman 1 avulla, jos juurrettavalla on tekijänä jonkin kokonaisluvun neliö. Esimerkiksi $$\begin{align*} \sqrt{72} &= \sqrt{2 \cdot 36} \\ &= \sqrt{2}\cdot \sqrt{36} \\ &= \sqrt{2}\cdot 6 \\ &= 6\sqrt{2} \end{align*}$$

Neliöjuurten sieventäminen helpottaa niiden yhteen- ja vähennyslaskua. Esimerkiksi lauseke $\sqrt{12} - \sqrt{27}$ saadaan sieventämällä huomattavasti yksinkertaisempaan muotoon: $$\begin{align*} \sqrt{12} - \sqrt{27} &= \sqrt{4\cdot 3} - \sqrt{9 \cdot 3} \\ &= \sqrt{4}\sqrt{3} - \sqrt{9}\sqrt{3} \\ &= 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \\ &= (2-3)\sqrt{3}\\ &= - \sqrt{3} \end{align*}$$

Edellisessä luvussa tutustuimme toisen asteen potenssifunktioon $f(x) = x^2$. Se on yksi esimerkki niin sanotuista toisen asteen polynomifunktioista, joihin liittyviä asioita tässä luvussa opiskellaan.

Seuraavissa tehtävissä tutkitaan, miten toisen asteen polynomifunktion lausekkeessa esiintyvät kertoimet $a$ ja $b$ sekä vakiotermi $c$ vaikuttavat funktion kuvaajan muotoon ja sijaintiin koordinaatistossa.

Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on aina paraabeli kuten edellisissä tehtävissä. Paraabelin huipuksi sanotaan alaspäin aukeavan paraabelin ylinta pistettä ja ylöspäin aukeavan paraabelin alinta pistettä:

Paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan symmetria-akselin suhteen:

Ensimmäisessä luvussa palautettiin mieleen, miten lasketaan kahden polynomin tulo. Sama menetelmä toimii myös useamman muuttujan polynomien tapauksessa. Esimerkiksi kahden muuttujan polynomien $2a+b$ ja $3a-4b$ tuloksi saadaan $$\begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{2a}\textcolor{red}{+b})(3a-4b) \\ &= \textcolor{blue}{6a^2-8ab}\textcolor{red}{+3ab-4b^2} \\ &= 6a^2-5ab - 4b^2 \end{align*}$$

Kootaan vielä edellisissä tehtävissä perustellut tulokset teoreemaksi:

Teoreeman 3 avulla voidaan laskea summan ja erotuksen tuloja sekä binomien neliöitä samaan tapaan kuin edellisten tehtävien b-kohdissa. Tällaiset tulot voidaan kuitenkin aina laskea tavalliseen tapaan polynomien kertolaskuina eikä teoreeman 3 muistikaavojen käyttö ole välttämätöntä. Jos taas jokin polynomi halutaan kirjoittaa tulomuodossa tai potenssina, on teoreeman 3 muistikaavojen hallitsemisesta huomattava etu. Esimerkiksi polynomista $$9x^2 - 24x + 16$$ huomataan, että sen toisen asteen termi ja vakiotermi voidaan kirjoittaa neliöinä: $$(\textcolor{red}{3x})^2 - 24x + \textcolor{blue}{4}^2.$$ Vertaamalla tätä teoreeman 3 muistikaavaan $$\textcolor{red}{a}^2 - 2ab + \textcolor{blue}{b}^2 = (a-b)^2$$ huomataan, että tarkasteltavassa tilanteessa $\textcolor{red}{a = 3x}$ ja $\textcolor{blue}{b = 4}$. Lisäksi näiden kaksinkertainen tulo täsmää tarkasteltavaan tilanteeseen, sillä $-2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} = -2\cdot \textcolor{red}{3x} \cdot \textcolor{blue}{4} = -24x$. Siis $$\begin{align*} 9x^2 - 24x + 16 &= (\textcolor{red}{3x})^2 -2\cdot \textcolor{red}{3x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2\\ &= (\textcolor{red}{3x}-\textcolor{blue}{4})^2. \end{align*}$$

Polynomien tulo lasketaan samalla periaatteella siinäkin tapauksessa, että tulon tekijöissä on enemmän kuin kaksi yhteenlaskettavaa. Esimerkiksi $$\begin{align*} &\quad (\textcolor{blue}{x}\textcolor{red}{+5})(x^2-2x-3) \\ &= \textcolor{blue}{x^3-2x^2-3x}\textcolor{red}{+5x^2-10x-15} \\ &= x^3 + 3x^2 - 13x - 15 \end{align*}$$

Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun tulon nollasääntöön, jota voidaan käyttää monien polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen.

Seuraavan teoreeman eli tulon nollasäännön mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Lue teoreema ja sen perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Tulon nollasääntöä voidaan käyttää tietynlaisten yhtälöiden ratkaisemiseen. Esimerkiksi yhtälö $$(x-2)(3x-4) = 0$$ toteutuu, jos ja vain jos ainakin toinen sen vasemman puolen tekijöistä on nolla eli $$x-2 = 0 \quad \text{ tai } \quad 3x-4 = 0.$$ Näistä yhtälöistä saadaan ratkaistua $$x = 2 \quad \text{ tai } \quad 3x = 4$$ eli $$x = 2 \quad \text{ tai } \quad x = \frac{4}{3}.$$

Kurssin alkupuolella opeteltiin ratkaisemaan ensimmäisen asteen yhtälöitä eli yhtälöitä, jotka voidaan kirjoittaa muodossa $ax + b = 0$, missä $a \neq 0$. Tällaiseen yhtälöön päädytään esimerkiksi silloin, kun tutkitaan, missä kohdassa ensimmäisen asteen polynomifunktio saa jonkin tietyn arvon. Vastaavasti toisen asteen polynomifunktiota tutkittaessa päädytään niin sanottuun toiseen asteen yhtälöön. Sellaiset opitaan ratkaisemaan tässä kappaleessa.

Muotoa $ax^2 + c = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt saadaan muokattua toisen asteen potenssiyhtälöiksi. Esimerkiksi yhtälöä $3x^2 - 21 = 0$ voidaan muokata seuraavasti: $$\begin{align*} 3x^2 - 21 &= 0 &\quad &\mid + 21 \\ 3x^2 &= 21 &\quad &\mid \ : 3 \\ x^2 &= 7 \end{align*}$$ Tiedetään, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Ensinnäkin $\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$, sillä neliöjuuren määritelmän mukaan $\sqrt{7}$ tarkoittaa sitä epänegatiivista lukua, jonka toinen potenssi on $7$. Lisäksi myös $-\sqrt{7}$ toteuttaa yhtälön $x^2 = 7$:

Edellisessä kappaleessa tutustuttiin tulon nollasääntöön, jonka mukaan reaalilukujen tulo on nolla, jos ja vain jos ainakin yksi tulon tekijöistä on nolla. Sen avulla saadaan ratkaistua muotoa $ax^2 + bx = 0$ olevat toisen asteen polynomiyhtälöt. Tällaisten yhtälöiden vasemmalta puolelta voidaan erottaa yhteinen tekijä $x$, minkä jälkeen yhtälön vasen puoli voidaan kirjoittaa tulona.

Esimerkiksi yhtälö $$x^2-3x = 0$$ voidaan kirjoittaa muodossa $$x(x-3) = 0.$$ Tulon nollasäännön mukaan tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x - 3 = 0$$ eli $$x = 0 \quad \text{ tai } \quad x = 3.$$

Jotkin toisen asteen yhtälöt saadaan kirjoitettua toiseen muotoon aiemmin opiskeltuja summan ja erotuksen neliön kaavoja käyttäen. Esimerkiksi käyttämällä summan neliön kaavaa $$\textcolor{red}{a}^2 + 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} + \textcolor{blue}{b})^2$$ yhtälö $$\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} + \textcolor{blue}{1} = 0$$ eli yhtälö $$\textcolor{red}{x}^2 + 2\textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{blue}{1}^2 = 0$$ saadaan kirjoitettua muodossa $$(\textcolor{red}{x}+\textcolor{blue}{1})^2 = 0.$$ Tämä yhtälö voidaan nyt ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö. Luvun $x+1$ toinen potenssi on nolla, jos ja vain jos kantaluku $x+1$ on nolla, eli $$x + 1 = 0.$$ Kun tämän yhtälön molemmilta puolilta vähennetään luku $1$, saadaan ratkaisu $$x = -1.$$

Edellisen tehtävän ideaa voidaan soveltaa myös tilanteissa, joissa yhtälön oikealla puolella ei olekaan nolla. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$25x^2 - 40x + 16 = 100.$$ Käyttämällä erotuksen neliön kaavaa $$\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2$$ voidaan tarkasteltu yhtälö $$(\textcolor{red}{5x})^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{5x} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{blue}{4}^2 = 100$$ kirjoittaa muodossa $$(\textcolor{red}{5x}-\textcolor{blue}{4})^2 = 100.$$ Tämä yhtälö voidaan jälleen ratkaista samaan tapaan kuin toisen asteen potenssiyhtälö: $$\begin{align*} (5x-4)^2 &= 100 \\[1mm] 5x - 4 = 10 \quad &\text{ tai } \quad 5x - 4 = -10 \\[1mm] 5x = 14 \quad &\text{ tai } \quad \quad \ \ 5x = -6 \\[1mm] \ \ x = \frac{14}{5} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{6}{5} \end{align*}$$

Voidaan osoittaa, että mikä tahansa toisen asteen polynomiyhtälö voidaan muuttaa sellaiseen muotoon, että se voidaan ratkaista edellisten tehtävien ideoita hyödyntäen. Tätä menetelmää sanotaan neliöksi täydentämiseksi.

Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$x^2-x-6 = 0.$$ Se voidaan kirjoittaa myös muodossa $$x^2 - 2\cdot \frac{1}{2}x = 6,$$ sillä $2\cdot \frac{1}{2} = 1$. Kun tämän yhtälön vasenta puolta verrataan erotuksen neliön kaavaan $$\textcolor{red}{a}^2 - 2\textcolor{red}{a}\textcolor{blue}{b} + \textcolor{blue}{b}^2 = (\textcolor{red}{a} - \textcolor{blue}{b})^2,$$ huomataan, että $a = x$ ja $b = \frac{1}{2}$: $$\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} = 6.$$ Yhtälön vasemmalta puolelta kuitenkin puuttuu termiä $\textcolor{blue}{b}^2$ vastaava termi. Tämä ongelma ratkeaa, kun yhtälön molemmille puolille lisätään $\left(\frac{1}{2}\right)^2$: $$\textcolor{red}{x}^2 - 2 \cdot \textcolor{red}{x} \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{2}} + \left(\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \left(\frac{1}{2}\right)^2.$$ Nyt yhtälö voidaan erotuksen neliön kaavan avulla kirjoittaa muodossa $$\left(\textcolor{red}{x}-\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\right)^2 = 6 + \frac{1}{4}$$ eli $$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$\begin{align*} x-\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{25}{4}} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\sqrt{\frac{25}{4}} \\[1mm] x-\frac{1}{2} = \frac{5}{2} \quad &\text{ tai } \quad x-\frac{1}{2} = -\frac{5}{2} \\[1mm] \ \ x = \frac{6}{2} \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -\frac{4}{2} \\[1mm] \ \ x = 3 \quad &\text{ tai } \quad \quad \quad x = -2 \end{align*}$$

Myös seuraavan teoreeman menetelmä toisen asteen polynomiyhtälön ratkaisemiseen perustustuu neliöksi täydentämiseen. Lue teoreeman perustelu huolellisesti ja mieti jokaisen virkkeen jälkeen, mitä järkeä selityksessä on. Jos jokin kohta tuntuu hämärältä, keskustele siitä kaverin tai opettajan kanssa.

Teoreeman 5 mukaan toisen asteen yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ voi olla kaksi ratkaisua, yksi ratkaisu tai ei yhtään ratkaisua. Jos neliöjuurimerkin alle tuleva luku on positiivinen eli $b^2-4ac > 0$, saadaan ratkaisuja kaksi: $$x_1 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ja $$x_2 = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Esimerkiksi yhtälön $x(2x-3)-3x(1-x) = -1$ ratkaisut saadaan selville, kun yhtälö ensin sievennetään perusmuotoon $ax^2 + bx + c = 0$: $$\begin{align*} x(2x-3)-3x(1-x) &= -1 \\ 2x^2-3x-3x+3x^2 &= -1 \\ 5x^2-6x + 1 &= 0\\ \end{align*}$$ Tästä nähdään, että $a = 5$, $b = -6$ ja $c = 1$. Tarkasteltu yhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $$\begin{align*} x &= \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5 \cdot 1}}{2\cdot 5} \\ &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} \\ &= \frac{6 \pm 4}{10} \end{align*}$$ eli $x = 1$ tai $x = \dfrac{1}{5}$.

Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan tunnistamaan erilaisille toisen asteen yhtälöille sopivat ratkaisutavat.

Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärää voidaan tutkia niin sanotun diskriminantin avulla:

Edellisten tehtävien havainnot voidaan koota seuraavaksi teoreemaksi:

Edellisen tehtävän tuloksena saadaan seuraava teoreema:

Aiemmin tässä kappaleessa olet ratkaissut toisen asteen yhtälöitä tulon nollasäännön avulla. Tällöin toisen asteen polynomi jaetaan tekijöihin erottamalla yhteinen tekijä: esimerkiksi yhtälö $2x^2 - 5x = 0$ voidaan ratkaista kirjoittamalla se muodossa $$x(2x-5) = 0.$$ Joitakin toisen asteen yhtälöitä olet ratkaissut summan ja erotuksen neliöiden kaavoja käyttäen. Tällöinkin polynomi tullaan jakaneeksi tekijöihin: esimerkiksi yhtälö $4x^2+20x + 25 = 0$ voidaan ratkaista kirjoittamalla se muodossa $$(2x+5)^2 = 0.$$ Seuraavaksi tutkitaan käänteistä tilannetta: Miten toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihin, jos vastaavan toisen asteen yhtälön ratkaisut tunnetaan?

Edellisessä tehtävässä toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ saatiin kirjoitettua tulomuodossa $$ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$$ eli jaettua ensimmäisen asteen tekijöihin $(x-x_1)$ ja $(x-x_2)$, missä $x_1$ ja $x_2$ ovat yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ ratkaisut. Tämä tulos on osa seuraavaa teoreemaa:

Teoreeman 8 avulla toisen asteen polynomi saadaan jaettua tekijöihin etsimällä ensin polynomin nollakohdat. Esimerkiksi jos polynomi $10x^2 + x - 3$ halutaan jakaa tekijöihin, ratkaistaan ensin yhtälö $10x^2 + x - 3 = 0$: $$\begin{align*} x &= \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 10} \\[1mm] &= \frac{-1\pm \sqrt{121}}{20} \\[1mm] &= \frac{-1\pm 11}{20}. \end{align*}$$ Ratkaisuiksi saadaan siis $x_1 = \dfrac{1}{2}$ ja $x_2 = -\dfrac{3}{5}$. Teoreeman 7 nojalla $$\begin{align*} 10x^2 + x - 3 &= 10\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right) \\[1mm] &= 2\left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot 5\left(x+\frac{3}{5}\right) \\[1mm] &= (2x-1)(5x+3). \end{align*}$$

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemisessa hyödynnetään tietoja toisen asteen polynomifunktion käyttäytymisestä.

Joidenkin epäyhtälöiden tapauksessa tarkan ratkaisun päätteleminen pelkän kuvan avulla on mahdotonta. Tällöin täytyy ensin selvittää funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat ratkaisemalla yhtälö $ax^2 + bx + c = 0$.

Toisen asteen epäyhtälöt kannattaa aina muuttaa muotoon, jossa epäyhtälön oikealla puolella on vain luku $0$. Tällöin epäyhtälö voidaan ratkaista tarkastelemalla vastaavan toisen asteen polynomifunktion nollakohtia ja kuvaajaa samaan tapaan kuin edellisissä tehtävissä. Esimerkiksi epäyhtälö $$(2x-1)^2-9 \geq (x-2)(x+2)$$ voidaan sieventää: $$\begin{align*} (2x-1)^2-9 &\geq (x-2)(x+2) \\ 4x^2-4x+1-9 &\geq x^2-4 \\ 3x^2-4x-4 &\geq 0 \end{align*}$$ Funktion $f(x) = 3x^2-4x-4$ kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, koska toisen asteen termin kerroin $3$ on positiivinen. Funktion nollakohdat löydetään ratkaisemalla yhtälö $3x^2-4x-4 = 0$: $$\begin{align*} x &= \frac{4 \pm \sqrt{16-4\cdot 3 \cdot (-4)}}{2\cdot 3} \\[1mm] &= \frac{4 \pm \sqrt{64}}{6} \\[1mm] &= \frac{4\pm 8}{6} \\[1mm] &= \frac{2\pm 4}{3} \end{align*}$$ Nollakohdat ovat siis $x_1 = 2$ ja $x_2 = -\dfrac{2}{3}$. Tilanteesta voidaan nyt hahmotella mallikuva:

Epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq -\dfrac{2}{3}$ tai $x \geq 2$.

Epäyhtälöiden ratkaisujoukkoja voidaan ilmaista myös hakasulkuja käyttäen. Esimerkiksi ennen tehtävää 3.32 pääteltiin, että epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq -\dfrac{2}{3}$ tai $x \geq 2$. Sama asia voidaan ilmaista hakasulkujen avulla sanomalla, että epäyhtälö $3x^2-4x-4 \geq 0$ toteutuu, jos ja vain jos $x$ on välillä $\ \pa -\infty, -\frac{2}{3}]\ $ tai $\ [2, \infty\pe$. Tässä negatiivisen äärettömän symboli $-\infty$ osoittaa, että ratkaisujoukko jatkuu lukusuoralla loputtomiin vasemmalle, ja äärettömän symboli $\infty$ osoittaa, että ratkaisujoukko jatkuu loputtomiin oikealle:

Hakasulkujen suunta ratkaisee, kuuluuko välin päätepiste joukkoon vai ei:

Kurssin alkupuolella tutustuttiin toisen asteen potenssifunktioon $f(x) = x^2$, jonka kuvaaja on $y$-akselin suhteen symmetrinen paraabeli:

Tässä kappaleessa tutkitaan muita potenssifunktioita ja sekä niin sanottuja korkeampia juuria.

Kolmannen asteen potenssifunktion $f(x) = x^3$ kuvaajasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $x^3 = a$ on yksi ratkaisu, olipa $a$ mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on merkitty yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua kirjaimella $b$:

Yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua sanotaan luvun $-2$ kuutiojuureksi. Luvun $-2$ kuutiojuuri on siis se luku, jonka kolmas potenssi on $-2$. Vastaavasti määritellään muidenkin lukujen kuutiojuuret.

Luvun $a$ kuutiojuurelle pätee siis määritelmän mukaan $\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$. Kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on toiselta nimeltään luvun $a$ kolmas juuri.

Kuutiojuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Määritellään seuraavaksi muut niin sanotut korkeammat juuret. Niitä tarvitaan, kun tutkitaan potenssiyhtälöiden $x^n = a$ ratkaisuja tapauksissa, joissa kokonaisluku $n \geq 4$. Seuraava määritelmä sisältää myös neliöjuuren ja kuutiojuuren määritelmät.

Huomaa, että parillisten juurten tapauksessa juuri $\sqrt[n]{a}$ on määritelty vain siinä tapauksessa, että juurrettava $a$ on epänegatiivinen eli $a \geq 0$. Tällöin $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa yhtälön $x^n = a$ epänegatiivista ratkaisua. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on havainnollistettu luvun $3$ neljättä juurta $\sqrt[4]{3}$:

On mahdollista osoittaa, että korkeammat juuret noudattavat samoja laskusääntöjä kuin neliöjuuri. Teoreemojen 1 ja 2 tulokset pätevät siis myös korkeampien juurten tapauksessa.

Potenssiyhtälöiden $x^n = a$ ratkaisut saadaan ilmaistua juurten avulla. Ratkaisujen lukumäärä täytyy päätellä siitä, onko eksponentti $n$ parillinen vai pariton. Esimerkiksi yhtälöllä $x^4 = 3$ on kaksi ratkaisua mutta yhtälöllä $x^3 = 3$ vain yksi ratkaisu:

Kurssissa MAY1 määriteltiin, mitä tarkoitetaan potenssilla, jossa eksponenttina on kokonaisluku. Sovittiin, että jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, niin $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_\text{$n$ kappaletta}.$$ Lisäksi sovittiin, että jos $a \neq 0$, niin $a^0 = 1$ ja $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$ Potenssin määritelmää voidaan laajentaa kattamaan myös tilanteet, joissa kantaluku on positiivinen ja eksponenttina on mikä tahansa rationaaliluku:

Potenssi $a^\frac{m}{n}$ on siis $n$:s juuri luvusta $a^m$. Erityisesti pontenssi $a^\frac{1}{n}$ on $n$:s juuri luvusta $a$. Esimerkiksi $$64^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{64} = 4.$$ Potenssi $a^{-\frac{m}{n}}$ on puolestaan potenssin $a^\frac{m}{n}$ käänteisluku samaan tapaan kuin kokonaislukueksponenttien tapauksessa.

Kun murtopotenssit määritellään kuten edellä, voidaan osoittaa, että vanhat tutut potenssien laskusäännöt ovat edelleen voimassa. Kurssin MAY1 teoreeman 1 tulokset pätevät siis myös tilanteessa, jossa eksponenttina on mikä tahansa rationaaliluku, kunhan kantaluvut ovat positiivisia.

Murtopotensseja voidaan käyttää juurilausekkeiden sieventämisessä. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Aikaisemmin tällä kurssilla on tutustuttu ensimmäisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa $f(x) = ax + b$, ja toisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa $f(x) = ax^2 + bx + c$. Samalla idealla voidaan määritellä muut polynomifunktiot:

Esimerkiksi funktio $g(x) = x^4+15x^3-2$ on neljännen asteen polynomifunktio ja funktio $h(x) = 0{,}2x^9-6x^5+x$ on yhdeksännen asteen polynomifunktio. Potenssifunktiot $f(x) = x^n$ ovat nekin esimerkkejä polynomifunktioista. Niillä $a_n = 1$ ja muut kertoimet ovat nollia: $a_{n-1} = 0$, $\ldots$, $a_0 = 0$.

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin korkeamman asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään korkeamman asteen yhtälöön. Tällaisten yhtälöiden ratkaiseminen voi olla joskus hyvin monimutkaista, mutta joissakin tapauksissa ratkaisu onnistuu tulon nollasäännön avulla.

Joissakin tapauksissa yhteinen tekijä voi olla monimutkaisempi kuin pelkkä $x$ tai $x^2$. Esimerkiksi yhtälössä $$x^3-3x^2-4x+12 = 0$$ termit voidaan ryhmitellä niin, että yhteinen tekijä paljastuu: $$\begin{align*} x^2(\textcolor{red}{x-3})-4(\textcolor{red}{x-3}) &= 0 \\ (\textcolor{red}{x-3})(x^2-4) = 0 \end{align*}$$ Tämän jälkeen yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla. Ratkaisuja saadaan kolme: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$ ja $x_3 = -2$.

Sellaiset neljännen asteen yhtälöt, joissa esiintyy neljännen asteen termin lisäksi vain toisen asteen termi ja vakiotermi, voidaan ratkaista soveltamalla toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Esimerkki tällaisesta niin sanotusta bikvadraattisesta yhtälöstä on $$4x^4 + 11x^2 - 3 = 0.$$ Kun merkitään $t = x^2$, voidaan yhtälö kirjoittaa muodossa $$4t^2 + 11t - 3 = 0.$$ Tämä on tavallinen toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisuiksi saadaan $$\begin{align*} t &= \frac{-11 \pm \sqrt{11^2-4\cdot 4\cdot (-3)}}{2\cdot 4} \\[1mm] &= \frac{-11 \pm 13}{8} \end{align*}$$ eli $t_1 = \frac{1}{4}$ ja $t_2 = -3$. Ratkaisusta $t_1 = \frac{1}{4}$ saadaan alkuperäiselle yhtälölle kaksi ratkaisua: $$\begin{align*} x^2 &= \frac{1}{4} \\[1mm] x = \frac{1}{2} \quad &\text{ tai } \quad x = -\frac{1}{2} \end{align*}$$ Ratkaisu $t_2 = -3$ ei tuota alkuperäiselle yhtälölle yhtään ratkaisua, sillä yhtälö $x^2 = -3$ ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla.

Joissakin tilanteissa mikään edellä harjoitelluista menetelmistä ei sovi korkeamman asteen yhtälön ratkaisemiseen. Tällöin yhtälön ratkaisut tai niiden likiarvot on mahdollista selvittää laskimella tai tietokoneella.

Aiemmin on osoitettu, että toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin polynomin nollakohtien avulla. Jos esimerkiksi tiedetään, että yhtälön $2x^2+5x-3 = 0$ ratkaisut ovat $x_1 = -3$ ja $x_2 = \frac{1}{2}$, voidaan polynomi $2x^2+5x-3$ kirjoittaa tulomuodossa: $$2x^2+5x-3 = 2\left(x+3\right)\left(x-\tfrac{1}{2}\right).$$ Polynomilla $2x^2 +5x -3$ on siis tekijät $(x-x_1)$ ja $(x-x_2)$. Seuraavan teoreeman mukaan vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomien tapauksessa.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta nähdään, että toisen asteen polynomiyhtälöllä on aina enintään kaksi ratkaisua. Teoreeman 9 avulla on mahdollista osoittaa, että vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomiyhtälöille: kolmannen asteen yhtälöllä on enintään kolme ratkaisua, neljännen asteen yhtälöllä enintään neljä ratkaisua ja niin edelleen.

Edellisessä luvussa opeteltiin ratkaisemaan toisen asteen epäyhtälöitä. Ratkaisun ideana oli muuttaa epäyhtälö perusmuotoon, jossa vasemmalla puolella on toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ ja oikealla puolella nolla, esimerkiksi $$ax^2 + bx + c > 0.$$ Tämä epäyhtälö saatiin ratkaistua selvittämällä polynomifunktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat ja päättelemällä, onko funktion $f$ kuvaaja alas- vai ylöspäin aukeava paraabeli.

Korkeamman asteen epäyhtälöt ratkaistaan samaan tapaan. Esimerkiksi epäyhtälö $$x^3 \leq 4x(x-1)$$ kirjoitetaan ensin perusmuodossa $$x^3-4x^2+4x \leq 0.$$ Vastaavan polynomifunktion nollakohdat löydetään erottamalla yhteinen tekijä ja käyttämällä tulon nollasääntöä: $$\begin{align*} x(x^2-4x+4) &= 0 & & \\ x = 0 \quad &\text{ tai } &\quad x^2-4x + 4 &= 0 \\ & & (x-2)^2 &= 0 \\ & & x &= 2 \end{align*}$$ Funktion merkki näiden nollakohtien eri puolilla saadaan selville laskemalla funktion arvo esimerkiksi kohdissa $x = -1$, $x = 1$ ja $x = 3$: $$\begin{align*} f(-1) &= (-1)^3-4\cdot (-1)^2+4\cdot (-1) = -9\\ f(1) &= 1^3-4\cdot 1^2+4\cdot 1 = 1 \\ f(3) &= 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3 = 3 \end{align*}$$ Koska polynomifunktion arvojen merkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa, riittää laskea funktion arvo yhdessä testikohdassa jokaisella nollakohtien määräämällä välillä $\pa -\infty, 0\pe$, $\ \pa 0, 2\pe \ $ ja $\ \pa 2, \infty \pe$. Näiden tietojen avulla voidaan piirtää merkkikaavio:

Tästä voidaan päätellä, että epäyhtälö $$x^3 \leq 4x(x-1)$$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq 0$ tai $x = 2$.

Jos epäyhtälön toinen puoli on valmiiksi tulomuodossa, merkkikaavioon kannattaa merkitä jokaisen tulon tekijän merkki erikseen. Esimerkiksi epäyhtälön $$(x+1)(x-3)(5-2x) < 0$$ tapauksessa vastaavan polynomifunktion $f(x) = (x+1)(x-3)(5-2x)$ nollakohdiksi saadaan tulon nollasäännön perusteella $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{5}{2}$ ja $x_3 = 3$. Tulon tekijöiden merkit nollakohtien eri puolilla voidaan päätellä hahmottelemalla kuvaajat:

Kuvaajien ei tarvitse olla kovin tarkkoja. Ensimmäisen asteen polynomifunktion tapauksessa oleellista on selvittää, onko kysymyksessä nouseva vai laskeva suora. Toisen asteen polynomifunktion tapauksessa oleellista on selvittää, onko kysymyksessä ylöspäin vai alaspäin aukeava paraabeli. Molemmissa tapauksissa riittää siis katsoa, onko korkeimman asteen termin kerroin positiivinen vai negatiivinen.

Kuvaajien avulla voi laatia merkkikaavion:

Tulon merkin voi päätellä tulon tekijöiden merkkien avulla. Pitää vain muistaa, että kahden negatiivisen luvun tulo on aina positiivinen. Tarkasteltu epäyhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $-1 < x < \dfrac{5}{2}$ tai $x > 3$.