Kurssin alkupuolella tutustuttiin toisen asteen potenssifunktioon $f(x) = x^2$, jonka kuvaaja on $y$-akselin suhteen symmetrinen paraabeli:

Tässä kappaleessa tutkitaan muita potenssifunktioita ja sekä niin sanottuja korkeampia juuria.

Kolmannen asteen potenssifunktion $f(x) = x^3$ kuvaajasta voidaan päätellä, että yhtälöllä $x^3 = a$ on yksi ratkaisu, olipa $a$ mikä tahansa reaaliluku. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on merkitty yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua kirjaimella $b$:

Yhtälön $x^3 = -2$ ratkaisua sanotaan luvun $-2$ kuutiojuureksi. Luvun $-2$ kuutiojuuri on siis se luku, jonka kolmas potenssi on $-2$. Vastaavasti määritellään muidenkin lukujen kuutiojuuret.

Luvun $a$ kuutiojuurelle pätee siis määritelmän mukaan $\left(\sqrt[3]{a}\right)^3 = a$. Kuutiojuuri $\sqrt[3]{a}$ on toiselta nimeltään luvun $a$ kolmas juuri.

Kuutiojuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Määritellään seuraavaksi muut niin sanotut korkeammat juuret. Niitä tarvitaan, kun tutkitaan potenssiyhtälöiden $x^n = a$ ratkaisuja tapauksissa, joissa kokonaisluku $n \geq 4$. Seuraava määritelmä sisältää myös neliöjuuren ja kuutiojuuren määritelmät.

Huomaa, että parillisten juurten tapauksessa juuri $\sqrt[n]{a}$ on määritelty vain siinä tapauksessa, että juurrettava $a$ on epänegatiivinen eli $a \geq 0$. Tällöin $\sqrt[n]{a}$ tarkoittaa yhtälön $x^n = a$ epänegatiivista ratkaisua. Esimerkiksi alla olevassa kuvassa on havainnollistettu luvun $3$ neljättä juurta $\sqrt[4]{3}$:

On mahdollista osoittaa, että korkeammat juuret noudattavat samoja laskusääntöjä kuin neliöjuuri. Teoreemojen 1 ja 2 tulokset pätevät siis myös korkeampien juurten tapauksessa.

Potenssiyhtälöiden $x^n = a$ ratkaisut saadaan ilmaistua juurten avulla. Ratkaisujen lukumäärä täytyy päätellä siitä, onko eksponentti $n$ parillinen vai pariton. Esimerkiksi yhtälöllä $x^4 = 3$ on kaksi ratkaisua mutta yhtälöllä $x^3 = 3$ vain yksi ratkaisu:

Kurssissa MAY1 määriteltiin, mitä tarkoitetaan potenssilla, jossa eksponenttina on kokonaisluku. Sovittiin, että jos $n$ on positiivinen kokonaisluku, niin $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_\text{$n$ kappaletta}.$$ Lisäksi sovittiin, että jos $a \neq 0$, niin $a^0 = 1$ ja $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$ Potenssin määritelmää voidaan laajentaa kattamaan myös tilanteet, joissa kantaluku on positiivinen ja eksponenttina on mikä tahansa rationaaliluku:

Potenssi $a^\frac{m}{n}$ on siis $n$:s juuri luvusta $a^m$. Erityisesti pontenssi $a^\frac{1}{n}$ on $n$:s juuri luvusta $a$. Esimerkiksi $$64^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{64} = 4.$$ Potenssi $a^{-\frac{m}{n}}$ on puolestaan potenssin $a^\frac{m}{n}$ käänteisluku samaan tapaan kuin kokonaislukueksponenttien tapauksessa.

Kun murtopotenssit määritellään kuten edellä, voidaan osoittaa, että vanhat tutut potenssien laskusäännöt ovat edelleen voimassa. Kurssin MAY1 teoreeman 1 tulokset pätevät siis myös tilanteessa, jossa eksponenttina on mikä tahansa rationaaliluku, kunhan kantaluvut ovat positiivisia.

Murtopotensseja voidaan käyttää juurilausekkeiden sieventämisessä. Tätä harjoitellaan seuraavassa tehtävässä.

Aikaisemmin tällä kurssilla on tutustuttu ensimmäisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa $f(x) = ax + b$, ja toisen asteen polynomifunktioihin, jotka ovat muotoa $f(x) = ax^2 + bx + c$. Samalla idealla voidaan määritellä muut polynomifunktiot:

Esimerkiksi funktio $g(x) = x^4+15x^3-2$ on neljännen asteen polynomifunktio ja funktio $h(x) = 0{,}2x^9-6x^5+x$ on yhdeksännen asteen polynomifunktio. Potenssifunktiot $f(x) = x^n$ ovat nekin esimerkkejä polynomifunktioista. Niillä $a_n = 1$ ja muut kertoimet ovat nollia: $a_{n-1} = 0$, $\ldots$, $a_0 = 0$.

Kun tutkitaan, missä kohdassa jokin korkeamman asteen polynomifunktio saa tietyn arvon, päädytään korkeamman asteen yhtälöön. Tällaisten yhtälöiden ratkaiseminen voi olla joskus hyvin monimutkaista, mutta joissakin tapauksissa ratkaisu onnistuu tulon nollasäännön avulla.

Joissakin tapauksissa yhteinen tekijä voi olla monimutkaisempi kuin pelkkä $x$ tai $x^2$. Esimerkiksi yhtälössä $$x^3-3x^2-4x+12 = 0$$ termit voidaan ryhmitellä niin, että yhteinen tekijä paljastuu: \begin{align*} x^2(\textcolor{red}{x-3})-4(\textcolor{red}{x-3}) &= 0 \\ (\textcolor{red}{x-3})(x^2-4) = 0 \end{align*} Tämän jälkeen yhtälö voidaan ratkaista tulon nollasäännön avulla. Ratkaisuja saadaan kolme: $x_1 = 3$, $x_2 = 2$ ja $x_3 = -2$.

Sellaiset neljännen asteen yhtälöt, joissa esiintyy neljännen asteen termin lisäksi vain toisen asteen termi ja vakiotermi, voidaan ratkaista soveltamalla toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. Esimerkki tällaisesta niin sanotusta bikvadraattisesta yhtälöstä on $$4x^4 + 11x^2 - 3 = 0.$$ Kun merkitään $t = x^2$, voidaan yhtälö kirjoittaa muodossa $$4t^2 + 11t - 3 = 0.$$ Tämä on tavallinen toisen asteen yhtälö, jonka ratkaisuiksi saadaan \begin{align*} t &= \frac{-11 \pm \sqrt{11^2-4\cdot 4\cdot (-3)}}{2\cdot 4} \\[1mm] &= \frac{-11 \pm 13}{8} \end{align*} eli $t_1 = \frac{1}{4}$ ja $t_2 = -3$. Ratkaisusta $t_1 = \frac{1}{4}$ saadaan alkuperäiselle yhtälölle kaksi ratkaisua: \begin{align*} x^2 &= \frac{1}{4} \\[1mm] x = \frac{1}{2} \quad &\text{ tai } \quad x = -\frac{1}{2} \end{align*} Ratkaisu $t_2 = -3$ ei tuota alkuperäiselle yhtälölle yhtään ratkaisua, sillä yhtälö $x^2 = -3$ ei toteudu millään muuttujan $x$ arvolla.

Joissakin tilanteissa mikään edellä harjoitelluista menetelmistä ei sovi korkeamman asteen yhtälön ratkaisemiseen. Tällöin yhtälön ratkaisut tai niiden likiarvot on mahdollista selvittää laskimella tai tietokoneella.

Aiemmin on osoitettu, että toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin polynomin nollakohtien avulla. Jos esimerkiksi tiedetään, että yhtälön $2x^2+5x-3 = 0$ ratkaisut ovat $x_1 = -3$ ja $x_2 = \frac{1}{2}$, voidaan polynomi $2x^2+5x-3$ kirjoittaa tulomuodossa: $$2x^2+5x-3 = 2\left(x+3\right)\left(x-\tfrac{1}{2}\right).$$ Polynomilla $2x^2 +5x -3$ on siis tekijät $(x-x_1)$ ja $(x-x_2)$. Seuraavan teoreeman mukaan vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomien tapauksessa.

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavasta nähdään, että toisen asteen polynomiyhtälöllä on aina enintään kaksi ratkaisua. Teoreeman 9 avulla on mahdollista osoittaa, että vastaava tulos pätee myös korkeamman asteen polynomiyhtälöille: kolmannen asteen yhtälöllä on enintään kolme ratkaisua, neljännen asteen yhtälöllä enintään neljä ratkaisua ja niin edelleen.

Edellisessä luvussa opeteltiin ratkaisemaan toisen asteen epäyhtälöitä. Ratkaisun ideana oli muuttaa epäyhtälö perusmuotoon, jossa vasemmalla puolella on toisen asteen polynomi $ax^2 + bx + c$ ja oikealla puolella nolla, esimerkiksi $$ax^2 + bx + c > 0.$$ Tämä epäyhtälö saatiin ratkaistua selvittämällä polynomifunktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ nollakohdat ja päättelemällä, onko funktion $f$ kuvaaja alas- vai ylöspäin aukeava paraabeli.

Korkeamman asteen epäyhtälöt ratkaistaan samaan tapaan. Esimerkiksi epäyhtälö $$x^3 \leq 4x(x-1)$$ kirjoitetaan ensin perusmuodossa $$x^3-4x^2+4x \leq 0.$$ Vastaavan polynomifunktion nollakohdat löydetään erottamalla yhteinen tekijä ja käyttämällä tulon nollasääntöä: \begin{align*} x(x^2-4x+4) &= 0 & & \\ x = 0 \quad &\text{ tai } &\quad x^2-4x + 4 &= 0 \\ & & (x-2)^2 &= 0 \\ & & x &= 2 \end{align*} Funktion merkki näiden nollakohtien eri puolilla saadaan selville laskemalla funktion arvo esimerkiksi kohdissa $x = -1$, $x = 1$ ja $x = 3$: \begin{align*} f(-1) &= (-1)^3-4\cdot (-1)^2+4\cdot (-1) = -9\\ f(1) &= 1^3-4\cdot 1^2+4\cdot 1 = 1 \\ f(3) &= 3^3-4\cdot 3^2+4\cdot 3 = 3 \end{align*} Koska polynomifunktion arvojen merkki voi vaihtua vain funktion nollakohdissa, riittää laskea funktion arvo yhdessä testikohdassa jokaisella nollakohtien määräämällä välillä $\pa -\infty, 0\pe$, $\ \pa 0, 2\pe \ $ ja $\ \pa 2, \infty \pe$. Näiden tietojen avulla voidaan piirtää merkkikaavio:

Tästä voidaan päätellä, että epäyhtälö $$x^3 \leq 4x(x-1)$$ toteutuu, jos ja vain jos $x \leq 0$ tai $x = 2$.

Jos epäyhtälön toinen puoli on valmiiksi tulomuodossa, merkkikaavioon kannattaa merkitä jokaisen tulon tekijän merkki erikseen. Esimerkiksi epäyhtälön $$(x+1)(x-3)(5-2x) < 0$$ tapauksessa vastaavan polynomifunktion $f(x) = (x+1)(x-3)(5-2x)$ nollakohdiksi saadaan tulon nollasäännön perusteella $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{5}{2}$ ja $x_3 = 3$. Tulon tekijöiden merkit nollakohtien eri puolilla voidaan päätellä hahmottelemalla kuvaajat:

Kuvaajien ei tarvitse olla kovin tarkkoja. Ensimmäisen asteen polynomifunktion tapauksessa oleellista on selvittää, onko kysymyksessä nouseva vai laskeva suora. Toisen asteen polynomifunktion tapauksessa oleellista on selvittää, onko kysymyksessä ylöspäin vai alaspäin aukeava paraabeli. Molemmissa tapauksissa riittää siis katsoa, onko korkeimman asteen termin kerroin positiivinen vai negatiivinen.

Kuvaajien avulla voi laatia merkkikaavion:

Tulon merkin voi päätellä tulon tekijöiden merkkien avulla. Pitää vain muistaa, että kahden negatiivisen luvun tulo on aina positiivinen. Tarkasteltu epäyhtälö siis toteutuu, jos ja vain jos $-1 < x < \dfrac{5}{2}$ tai $x > 3$.