Tässä kappaleessa tutustutaan niin sanottuun toisen asteen potenssifunktioon ja palautetaan mieleen, mitä luvun neliöjuuri tarkoittaa.

Toisen asteen potenssifunktion kuvaaja on piirretty alla olevaan kuvaan. Se on muodoltaan paraabeli.

Toisen asteen potenssifunktion $f(x) = x^2$ kuvaajasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua:

Positiivista ratkaisua, joka on merkitty kuvaan kirjaimella $b$, sanotaan luvun $7$ neliöjuureksi. Luvun $7$ neliöjuuri on siis sellainen positiivinen luku, jonka toinen potenssi on seitsemän. Vastaavasti määritellään muidenkin epänegatiivisten lukujen neliöjuuret.

Epänegatiivisia lukuja ovat luku nolla sekä kaikki positiiviset luvut. Luku $a$ on siis epänegatiivinen, jos ja vain jos $a \geq 0$. Negatiivisille luvuille neliöjuurta ei määritellä.

Jos luvun $a$ neliöjuurelle käytetään merkintää $\sqrt{a}$, pätee sille siis määritelmän mukaan kaksi asiaa: $\sqrt{a} \geq 0$ ja $\left(\sqrt{a}\right)^2 = a$.

Neliöjuuren merkintää käyttäen edellinen kuva näyttää tältä:

Luvun $a$ neliöjuurelta vaaditaan neliöjuuren määritelmän mukaan kaksi asiaa: sen pitää olla epänegatiivinen ja sen toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin luku $a$. Esimerkiksi luvulle $\frac{1}{2}$ pätee $\frac{1}{2} \geq 0$ ja $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, joten se on luvun $\frac{1}{4}$ neliöjuuri. Voidaan siis merkitä $$\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2.}$$

Toisen asteen potenssifunktion kuvaajan avulla voidaan ratkaista sellaisia toisen asteen yhtälöitä, jotka ovat muotoa $x^2 = a$. Esimerkiksi alla olevasta kuvasta nähdään, että yhtälöllä $x^2 = 7$ on kaksi ratkaisua: $x_1 = \sqrt{7}$ ja $x_2 = -\sqrt{7}$. Sama asia voidaan ilmaista myös sanomalla, että yhtälö $x^2 = 7$ toteutuu, jos ja vain jos $x = \sqrt{7}$ tai $x = -\sqrt{7}$.

Kaikki sellaiset toisen asteen yhtälöt, joissa esiintyy vain tuntemattoman toinen potenssi, saadaan ratkaistua samaan tapaan kuin edellä. Ensin yhtälö täytyy vain muuttaa muotoon $x^2 = a$. Tarkastellaan esimerkiksi yhtälöä $$4x^2 - 3 = 0.$$ Kun sen molemmille puolille lisätään luku $3$, päädytään yhtälöön $$4x^2 = 3.$$ Tämä yhtälön molemmat puolet voidaan jakaa luvulla $4$, jolloin saadaan yhtälö $$x^2 = \frac{3}{4}.$$ Tämä yhtälö toteutuu, jos ja vain jos $$x = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ tai } \quad x = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Ratkaisun aikana tarkasteltuja yhtälöitä ja niiden ratkaisuja on havainnollistettu alla olevassa kuvassa. Huomaa, että kaikilla yhtälöillä on samat ratkaisut kuten pitääkin.

Edellisessä kappaleessa ratkaistiin yhtälö $4x^2 - 3 = 0$. Ratkaisuiksi saatiin $$x_1 = \sqrt{\frac{3}{4}} \quad \text{ ja } \quad x_2 = -\sqrt{\frac{3}{4}}.$$ Tässä kappaleessa harjoitellaan neliöjuurilla laskemista ja opitaan muun muassa sieventämään nämä ratkaisut toiseen muotoon.

Neliöjuuren määritelmän mukaan luku $x$ on luvun $y \geq 0$ neliöjuuri, jos se toteuttaa kaksi ehtoa:

1. luvun $x$ pitää olla epänegatiivinen eli $x \geq 0$
2. luvun $x$ toisen potenssin pitää olla yhtä suuri kuin $y$ eli $x^2 = y$.

Seuraavan teoreeman perustelussakin tarkistetaan nämä kaksi ehtoa, kun osoitetaan, että neliöjuurten tulo on yhtä suuri kuin tulon neliöjuuri.

Seuraava teoreema perusteltiin äskeisessä tehtävässä:

Kokonaislukujen neliöjuuret sievennetään yleensä muotoon, jossa juurrettavana on mahdollisimman pieni kokonaisluku. Sieventäminen onnistuu teoreeman 1 avulla, jos juurrettavalla on tekijänä jonkin kokonaisluvun neliö. Esimerkiksi \begin{align*} \sqrt{72} &= \sqrt{2 \cdot 36} \\ &= \sqrt{2}\cdot \sqrt{36} \\ &= \sqrt{2}\cdot 6 \\ &= 6\sqrt{2} \end{align*}

Neliöjuurten sieventäminen helpottaa niiden yhteen- ja vähennyslaskua. Esimerkiksi lauseke $\sqrt{12} - \sqrt{27}$ saadaan sieventämällä huomattavasti yksinkertaisempaan muotoon: \begin{align*} \sqrt{12} - \sqrt{27} &= \sqrt{4\cdot 3} - \sqrt{9 \cdot 3} \\ &= \sqrt{4}\sqrt{3} - \sqrt{9}\sqrt{3} \\ &= 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} \\ &= (2-3)\sqrt{3}\\ &= - \sqrt{3} \end{align*}